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贪心算法摘要 贪心算法是一种通过局部最优选择逐步构建全局最优解的算法策略。其核心思想是将问题分解为多个步骤，每一步都选择当前看似最优的解，从而期望最终得到全局最优解。 特点： 贪心策略因问题而异，没有固定模板； 同一问题可能存在多种贪心策略； 贪心策略的正确性需要严格证明。 示例应用： 找零问题：优先使用最大面额纸币； 最小路径和：错误示例展示贪心策略的局限性； 背包问题：不同贪心策略（按体积、价值或单位价值）可能导致错误解。 经典问题： 柠檬水找零：优先使用10元纸币； 数组减半：每次选择最大数减半； 最

在下面的代码中，由于二分查找需要确定待查找区间的左右端点，刚开始查找时，左端点是 0，右端点是 ret + 1，ret 就是最长上升子序列的长度，如果最后找到的插入位置是 ret + 1，那么 ret++给定一个字符串数组strs，再给定两个字符串str1和str2，返回在strs中str1和str2的最小距离，如果str1或str2为null，或不在strs中，返回-1。解法：遍历数组的同时，用两个变量标记当前位置之前的最后出现的 str1 和 str2 的下标。

快速排序、希尔排序、堆排序、归并排序、插入排序、冒泡排序、选择排序

本文介绍了计算整数约数的几种方法：1）试除法求单个数的所有约数，时间复杂度O(√n)；2）倍数法求[1,n]每个数的约数集合；3）约数个数定理，通过质因数分解计算约数个数；4）约数和定理，通过质因数分解计算约数之和。每种方法都给出了具体实现代码，适用于不同场景下的约数计算需求，包括约数枚举、个数统计和求和等操作。

算术基本定理指出，任何大于1的自然数都可以唯一分解为质数的乘积（如360=2³×3²×5）。分解质因数时，只需枚举2到√n的数，若能整除就除尽并计数，最后处理剩余的大于√n的质因子。对于阶乘n!的质因数分解，可以分别分解2到n的每个数后累加质因子次数，或者直接统计每个质数在阶乘中的出现次数。两种方法的时间复杂度均为O(√n)到O(logn)不等，适用于不同场景的质因数分解需求。

本文介绍了质数与合数的基本概念，重点讲解了三种判断和筛选质数的方法：试除法用于判断单个数的质数性质，时间复杂度为O(√n)；埃拉托斯特尼筛法通过标记倍数来筛选质数，时间复杂度为O(nloglogn)；欧拉筛法（线性筛）通过最小质因数标记每个合数，确保每个数只被筛一次，时间复杂度优化至O(n)。文章详细说明了各种算法的实现原理和代码示例，包括防溢出处理和优化技巧，为质数相关问题提供了高效的解决方案。

本文介绍了约数和倍数的基本概念，重点阐述了最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的求解方法。详细说明了欧几里得算法（辗转相除法）的原理、实现步骤和递归代码实现，分析了其时间复杂度为O(logn)。同时介绍了三个数GCD的计算方法（先求前两数GCD再与第三数求GCD）以及利用GCD求LCM的公式（LCM = a×b / GCD(a,b)）。这些算法在数论和编程中具有重要应用价值。

本文介绍了字符串哈希的基本概念与应用。哈希函数将字符串映射为整数（通常使用p=131或13331的进制转换），并讨论了哈希冲突问题。重点阐述了前缀哈希数组的预处理方法（O(n)时间复杂度）和快速查询子串哈希值的技巧（利用公式f[r]-f[l-1]*p^(r-l+1)）。通过维护前缀哈希数组f[i]和p的幂次数组p[i]，可将子串查询优化至O(1)。最后给出了C++实现模板，包括初始化函数init_hash()和查询函数get_hash()，适用于字符串匹配和去重等场景。

摘要：本文介绍了单调栈和单调队列两种数据结构及其应用。单调栈是具有单调递增或递减特性的栈结构，用于高效解决元素最近较大/较小值的查找问题，包括四种变体情况。单调队列是具有单调性的双端队列，主要用于快速求解滑动窗口的最大值和最小值问题。文章提供了两种数据结构的实现模板，并强调存储元素下标的重要性。时间复杂度均为O(N)，每个元素最多入栈/出栈一次。

本文介绍了离散化算法的原理和实现方法。离散化适用于数据范围大但总量不大的情况，通过将数据值映射为较小范围内的下标来优化处理。算法实现步骤包括：1)存储原始数据；2)排序预处理；3)使用哈希表建立映射关系；4)输出离散化结果。文中提供了C++代码示例，展示了如何对输入数据进行排序、去重并建立值到连续编号的映射，最终输出每个原始值对应的离散化结果。该技术能有效处理大规模稀疏数据问题。

本文介绍了快速幂算法的实现原理和代码模板。算法通过将指数b转换为二进制形式，利用位运算判断是否需要累乘a的对应次方，从而高效计算a^b。代码实现采用while循环和位操作，通过取模防止数值溢出。该模板函数qpow接收底数a、指数b和模数p，返回a^b mod p的结果。主函数通过输入参数调用qpow并输出计算结果。这种算法的时间复杂度为O(logb)，比传统O(b)的循环方法更高效。

摘要：本文讨论了模运算的几个关键性质和应用。首先介绍了同余定理及其逆定理，说明a≡b(mod p)等价于a%p=b%p。其次讲解了负数模正数的修正方法，提出"模加模"技巧来保证结果为正数。对于只含加法和乘法的运算，可以在任意中间步骤取模而不影响最终结果。但当涉及除法时，必须使用逆元才能正确取模。文中通过C++代码示例展示了这些性质的实际应用，特别是在防止中间结果溢出方面的优势。

摘要：本文系统介绍了动态规划（DP）的核心解题思路和应用场景。首先阐述了DP的基本框架：1）确定状态表示（一维/二维DP表）；2）推导状态转移方程；3）处理边界初始化；4）确定填表顺序；5）确定返回值。随后详细讲解了各类经典DP问题的解法，包括路径问题（如不同路径）、多状态问题（如打家劫舍）、子数组/子序列问题（如最长递增子序列）、回文串问题（如回文子串）以及背包问题（01背包和完全背包）。特别强调了状态表示的选择技巧和空间优化方法（滚动数组），并通过LeetCode真题展示了如何将理论应用于实际问题求解。

本文系统讲解了递归算法的核心概念与应用技巧。首先阐述了递归的本质是主问题分解为相同结构的子问题，并通过函数自我调用来解决。其次详细介绍了递归设计方法：分解问题、明确参数、设计函数头和函数体，并强调信任递归黑盒和设置终止条件的重要性。通过汉诺塔、链表合并、排列组合等经典例题，展示了递归在树形结构和线性结构中的不同应用场景。同时讲解了回溯和剪枝的优化技巧，以及记忆化搜索如何避免重复计算。最后以数独、N皇后等问题为例，演示了递归在复杂搜索问题中的实际应用，为算法学习提供了清晰的思路框架。

摘要：宽度优先搜索（BFS）是一种按层遍历的图搜索算法，其核心思想是通过队列实现"由近及远"的访问顺序，保证首次到达目标即为最短路径。BFS具有完备性和最优性特点，适用于无权图的最短路径、迷宫求解等问题。在树结构中可应用于层序遍历（如LeetCode 102、103题）；在图结构中可处理FloodFill算法（如LeetCode 733、200题）。BFS还能有效解决边权为1的最短路径问题（如LeetCode 1926、433题）以及拓扑排序（如LeetCode 207题）。算法实现时需

本文介绍了两种字符串模拟数值运算的方法：1、n进制数相加：通过逆序处理字符串，逐位相加并处理进位，最后反转结果字符串。2、十进制数相乘：采用"无进位相加"策略，先逆序字符串，进行位相乘后存储到临时数组，再统一处理进位，最后反转结果字符串。两种方法都避免了低效的头插操作，通过逆序处理简化了数位对齐问题。

本文介绍了快速排序和归并排序两种高效排序算法的原理与实现。快速排序采用分治思想，通过选取基准值将数组分割为三部分（小于、等于和大于基准值），然后递归处理左右子序列。归并排序则是将数组不断二分，先排序子数组再合并有序子数组。文章详细分析了两种算法的递归实现框架、关键步骤及优化技巧，并给出了LeetCode相关例题的解法，包括颜色分类、数组中的第K大元素、统计逆序对等问题，展示了这两种排序算法在实际问题中的应用。

本文总结了常见位运算操作及其应用。主要内容包括：1）7种基本位运算操作（按位与、或、异或等）；2）位运算经典例题解析，包括查找数组中只出现一次的数字、判断字符串字符唯一性、寻找缺失数字等；3）多种解法对比，如位运算、哈希表、数学法等。通过位运算技巧（如提取最右侧1、位图思想等），可以高效解决相关问题，时间复杂度和空间复杂度较优。

本文介绍了前缀和在数组和矩阵中的高效应用。一维前缀和通过预处理构造前缀和数组，可在O(1)时间查询任意区间和；二维前缀和通过递推公式预处理矩阵，快速计算子矩阵和。两者均需注意边界处理（下标从1开始）。时间复杂度为预处理O(N)或O(N²)加每次查询O(1)，适用于频繁求和的场景。文章包含实现代码和例题，并指出前缀和思想可扩展至统计其他聚合值（如最大值、方差等），还介绍了后缀和的概念及其应用。

本文系统介绍了二分查找算法的原理与应用。算法核心是通过判断中间值性质，每次排除一半元素，将O(n)复杂度降至O(logn)。文章详细讲解了标准二分查找模板和两种常用变体模板（寻找左/右端点），重点分析了不同场景下二段性特征的划分方法。通过7个典型例题（如查找边界、平方根、旋转数组最小值等），演示了如何根据不同问题特性设计二分策略，包括终止条件、中间值计算和边界更新的处理技巧。特别强调了防溢出写法mid=left+(right-left)/2的重要性，并对比了不同模板的适用场景和注意事项。