6、快速傅里叶变换与蒙特卡罗方法详解

快速傅里叶变换与蒙特卡罗方法详解

1. 快速傅里叶变换（FFT）的对称性与优化

在使用FFT时，通常希望有一个有序输入、有序输出的算法。通过对每个递归分解巧妙选择 (P_{\ell}) ，可以实现这样的算法，同时这些算法也体现了数据依赖和内存步长的重要概念。值得注意的是，对按位反转输出进行重新排序的后处理步骤几乎与FFT本身的计算成本相当，这凸显了在当今计算设备中，内存流量是最为重要的考虑因素。

当输入序列具有某些对称性时，可以进一步减少计算量。以下是几种不同对称性情况下的FFT优化方法：
- 输入为实序列 ：若 (n) 维输入仅包含实元素，输出 (y = W_nx) 满足复共轭条件，即输出序列 (y) 的后半部分是前半部分按逆序的复共轭。Cooley等人提出的方法可将 (n) 维FFT简化为 (n/2) 维复FFT加上 (O(n)) 操作的后处理步骤。逆操作类似，但有一个预处理步骤，然后进行 (n/2) 维复FFT。这种方法能将操作计数从 (O(n \cdot log (n))) 降低，且 (n/2) 维FFT和 (O(n)) 操作的后（预）处理步骤都可并行化。
- 输入为实对称序列 ：若输入序列 (x \in R^n) 为实对称序列，Dollimore方法将 (n) 维FFT拆分为三个部分：(O(n)) 的预处理、(O(n/4)) 维复FFT和 (O(n)) 维的后处理步骤。
- 输入为实反对称序列 ：若输入序列为实反对称序列，同样采用Dollimore方法，先进行预处理，再进行 (n/4) 维复FFT，最后进行 (O(n)) 后处理步骤。