77、密码学中的碰撞抗性与相关函数分析

密码学中的碰撞抗性与相关函数分析

1. 多属性保留域扩展相关函数分析

1.1 基于二次分组密码的压缩函数

在密码学中，对于基于二次分组密码的压缩函数 $\psi[E]$，其抗碰撞性可以用 $Adv_{E}^{unp}(t, q)$ 来有效界定。设 $Adv_{\psi[E]}^{coll}(t, q)$ 是运行时间为 $t$ 且能访问 $E$ 和 $E^{-1}$ 预言机的敌手 $A$ 输出 $\psi[E]$ 的已验证碰撞 $(M, M’)$ 的最大概率。

有如下定理：
- 定理 7 ：设 $\psi[E]$ 是基于二次分组密码的压缩函数，其中 $E$ 是从所有 $n$ 位分组密码（密钥为 $2n$ 位）的集合中按照任意固定分布采样得到的。则有：
$Adv_{\psi[E]}^{coll}(t, q) \leq 2q(\log q + 3)Adv_{E}^{unp}(t + O(n^2q^4) + Time2, q)$
进一步地，设 $G = G[E, f_2] = f_2 \circ MD [\psi[E]]$ 是一个函数族，其中 $f_2$ 是从函数族 $f : {0, 1}^{\kappa} \times {0, 1}^{2n} \to {0, 1}^{n}$ 中选取的。对于 $q = \lfloor\mu/c\rfloor + 2\tilde{q}$，有：
$Adv_{G}^{mac}(t, \tilde{q}, \mu) \leq Adv_{f}^{mac}(t, \tilde{q}) + 2q(\log q + 3)Adv_{E}^{unp}(t + O(n^2q^4) + Time2