71、盆景树：格基委托的艺术

盆景树：格基委托的艺术

1. 格问题基础

在格密码学中，SIS（Small Integer Solution）和LWE（Learning With Errors）问题是两个核心问题。我们用 $Adv_{SIS_{q,\beta}}(A)$ 和 $Adv_{LWE_{q,\chi}}(A)$ 分别表示算法 $A$ 解决SIS和LWE问题的成功概率和区分优势。对于合适的参数，平均情况下以不可忽略的优势解决SIS和LWE问题，与在最坏情况下近似某些格问题（如（决策）最短向量问题）一样困难。具体来说：
- 当 $q \geq \beta \cdot \omega(\sqrt{n \log n})$ 时，解决 $SIS_{q,\beta}$ 问题可得到 $\tilde{O}(\beta \cdot \sqrt{n})$ 的近似因子。
- 当 $q \geq (1/\alpha) \cdot \omega(\sqrt{n \log n})$ 时，解决 $LWE_{q,\chi}$ 问题可得到 $\tilde{O}(n/\alpha)$ 的近似因子（在某些情况下，通过量子归约）。

1.1 格上的高斯分布

对于任意 $s > 0$ 和维度 $m \geq 1$，高斯函数 $\rho_s : \mathbb{R}^m \to (0, 1]$ 定义为 $\rho_s(x) = \exp(-\pi |x|^2/s^2)$。对于任意陪集 $\Lambda^{\perp} y(A)$，离散高斯分布 $D {\Lambda^{\perp}_y(A),s}$（以零为中心）在陪集上为每个 $x \in \Lambda^{\perp}_y(A)$ 分配与 $\r