9、基于配对的密码系统从复合阶群到素数阶群的转换

基于配对的密码系统从复合阶群到素数阶群的转换

1. 双线性群生成器构造

• 3 - 消去双线性群生成器 (G_{3C})
  1. 定义 (e : G × H → G_t) （通过特定公式 (3.1) 且 (n = 3)）。
  2. 输出元组 ((G, G_1, G_2, G_3, H, H_1, H_2, H_3, G_t, e))。
     可以证明 (G_{3C}) 是一个 3 - 消去双线性群生成器，步骤 (3) 中的不等式保证了配对 (e) 的非退化性。
• 2 - 消去双线性群生成器 (G_{2C})
  通过将 (G_{3C}) 的构造限制到前两个分量得到。具体来说，(G = G_1^2)，(H = G_2^2)，(G_t = G_t)，设置 (u = 0)，(v = 0)，(w = 1)，得到 (G_1 = ⟨(g_1, g_1^x)⟩)，(G_2 = ⟨(g_2, g_2^y)⟩)，(H_1 = ⟨(h_1^{-y}, h_1)⟩)，(H_2 = ⟨(h_2^{-x}, h_2)⟩)。定义 (e : G × H → G_t) 并输出 ((G, G_1, G_2, H, H_1, H_2, G_t, e))。
• (GL(n, k)) 双线性群生成器
  当有对称配对（即 (G_1 = G_2)）时，对于 (n > k > 1)，可通过以下步骤获得 ((n - k + 1)) - 消去双线性群生成器 (GL(n, k))：
  1. 令 ((