25、数据结构：堆与字典树的奥秘

数据结构：堆与字典树的奥秘

堆作为优先队列

数组实现法是较为常见的方式，用数组实现树是很有趣的。实际上，任何类型的二叉树都能用数组来实现，例如之前提到的二叉搜索树。不过，堆是首个使用数组实现具有优势的二叉树，因为它能让我们轻松找到最后一个节点。

优先队列的主要功能是让我们能立即访问队列中优先级最高的元素。以急诊室为例，我们会优先处理病情最严重的患者。这就是为什么堆非常适合用于实现优先队列，堆能让我们直接访问优先级最高的元素，该元素总是位于根节点。每次处理完优先级最高的元素（并将其从堆中移除）后，次高优先级的元素会浮到堆顶，等待下一次处理。而且，堆在保持快速插入和删除操作的同时，这两种操作的时间复杂度均为 $O(log N)$。

与之对比，有序数组为了确保每个新元素处于正确位置，插入操作的时间复杂度为 $O(N)$，速度要慢得多。堆的弱序性其实是它的优势所在，它不需要完全有序，这使得我们能在 $O(log N)$ 的时间内插入新元素。同时，堆的有序程度足以让我们在任何时候都能访问到所需的元素，即堆中的最大值。

不同类型的树能优化不同类型的问题。二叉搜索树在保持快速搜索的同时，将插入成本降至最低；而堆则是构建优先队列的理想工具。

以下是一些关于堆的练习题：
1. 画出在给定堆中插入值 11 后的堆结构。
2. 画出删除给定堆的根节点后的堆结构。
3. 假设按 55、22、34、10、2、99、68 的顺序将这些数字插入堆中构建一个新堆。若将这些数字逐个从堆中弹出并插入到一个新数组中，这些数字在新数组中的顺序是怎样的？

字典树的魅力

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