一维差分（例acwing重新排序）

一维差分是为了解决访问一个数组中的几个区间，降低时间复杂度使用的

1. 差分就是前缀和的逆运算（a[i]=b[1]+b[2]+…b[i]）

2. 差分的作用就是快速实现将数组部分加上一个数。

例如

给定一个数组 A 和一些查询 Li,Ri，求数组中第 Li 至第 Ri 个元素之和。
小蓝觉得这个问题很无聊，于是他想重新排列一下数组，使得最终每个查询结果的和尽可能地大。
小蓝想知道相比原数组，所有查询结果的总和最多可以增加多少?
输入格式
输入第一行包含一个整数 n。
第二行包含 n 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,An，相邻两个整数之间用一个空格分隔。
第三行包含一个整数 m 表示查询的数目。
接下来 m 行，每行包含两个整数 Li、Ri，相邻两个整数之间用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数表示答案。
数据范围
对于 30% 的评测用例，n,m≤50；
对于 50% 的评测用例，n,m≤500；
对于 70% 的评测用例，n,m≤5000；
对于所有评测用例，1≤n,m≤105，1≤Ai≤106，1≤Li≤Ri≤n。
输入样例：
5
12345
2
13
25
输出样例：
4
样例解释
原来的和为 6+14=20，重新排列为 (1,4,5,2,3) 后和为 10+14=24，增加了 4.

先分享一下这道题的做题思路：

第一步：要想求出重新排序之后的和尽量最大，就应该使得有交集的部分和最大

例如12345 区间是1-3 和2-5 ，区间2-3要加两次，其余的加一次，要想使和最大2-3区间和应该先最大，所有一开始想求他们两个之间的交集，后来发现根本没有思路求交集，转过来想到，求同一个位置被m次区间访问的次数，就是它们相交的次数。设立一个访问数组cnt[N]，例如一开始区间1-3，

cnt[5]={1,1,1,0,0};之后2-5访问后cnt[5]={1，2，2，1，1}。这就是经历过两次查询后，数组中的元素在所有访问区间 中出现的次数。

这是一开始想到的统计cnt数组元素的方法，但是会超时，因为算法复杂度是o（m*区间长度）

cin >> m;
    
    while (m --) {
        cin >> i >> j;
        for (int k = i; k <= j; k++) {
            cnt[k]++;
        }
        
    }

后面想到了y总的一维差分方法，直接用模板

第一次询问区间1 -3

我们想得到的目标数组是 a{1，1，1，0，0，}但是时间复杂度太高了

我们用人为构造差分数组，目标数组a[i] =cnt[i]-cnt[i-1];

1 0 0 -1 0

等价于cnt[i]++;

cnt[j]--;

之后在通过差分数组可以还原得到目标数组a[5],

b[i] = cnt[i]+b[i - 1];

b[1]=cnt[1]+b[0]=1

b[2]=cnt[2]+b[1]=1

b[3]=cnt[3]+b[2]=1

b[4]=cnt[4]+b[3]=0

b[5]=cnt[5]+b[4]=1

代码如下：

    while (m--) {
        cin >> i >> j;
        cnt[i]++;
        cnt[j + 1]--;

    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = cnt[i]+b[i - 1];
        cout << b[i] << ",";
        suma = suma + a[i] * b[i];
    }
    
    

第二步：求出来每个位置被访问的次数后，我想要把最大的数想要放在对应的b数组中，即访问次数最多的位置

例如原数组1 2 3 4 5

访问区间 1-3 和2-5

b数组 1 2 2 1 1，想要让最大的数4和5 去到第二个第三个位置这样求出来的和最大

也就是cnt值最大的对应原数组最大的数，这样求出来的和才最大

因此把两个数组排序

1 2 3 4 5

1 1 1 2 2

这样对应乘积累加才最大

sort(b + 1, b + n + 1);
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sumb = sumb + a[i] * b[i];
    }

最后别忘了相减，因为求的是增加了的值。

全部代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int i, j;
int n, m;
long long  a[100005], cnt[100005],b[100005];
long long suma;
long long sumb;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        
    }
    cin >> m;
    
    
    
    while (m--) {
        cin >> i >> j;
        cnt[i]++;
        cnt[j + 1]--;

    }
    

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = cnt[i]+b[i - 1];
        cout << b[i] << ",";
        suma = suma + a[i] * b[i];
    }
    
    

    sort(b + 1, b + n + 1);
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sumb = sumb + a[i] * b[i];
    }
   cout<<endl;
    cout << sumb-suma;
    return 0;
}

截图：