数论+秦九韶算法 NOIP 2014 解方程

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本文介绍了一种使用秦九韶算法高效求解特定范围内多项式方程整数解的方法。通过将多项式方程转换为更易处理的形式，并利用秦九韶算法减少计算复杂度，可以在大规模数据下快速找出方程的整数解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：已知多项式方程：
$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n=0$
求这个方程在 $[1, m]$ 内的整数解 $n < = 100, m < = 1 e 6$

我们考虑枚举 $m$ ，对于每一个 $m$ ，我们去检验它是否是多项式方程的一个解，检验的方法用到了秦九韶算法，秦九韶算法的作用就是求一个多项式方程的结果时，只需枚举n次，假设我们有一个一元四次方程 $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4=0$ ，我们可以将这个式子化为 $x(x(x(a_4x+a_3)+a_2)+a_1)+a_0)=0$ ，我们从大到小枚举 $i$ ，对于每一个 $i$ ，我们让 $s u m$ 加上 $a_i$ 再乘上 $x$ ，最后让 $sum+a_0$ ，看 $s u m$ 是否 $= 0$ 即可。

这题 $abs(a_i)<=1e10000$ ，所以读入时用类似快读的方法，不断取模就行。

$O (n * m) = 1 e 8 ，开 O 2 苟过去 Q A Q$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n,m,ans[1001000],num,a[1001000];
inline bool check(ll x)
{
    ll sum=0;
    for(register ll i=n+1;i>=2;--i)
        sum=((a[i]%mod+sum%mod)%mod*x%mod)%mod;
    sum=(a[1]%mod+sum%mod)%mod;
    if(sum==0)
        return true;
    return false;
}
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {
        if(c=='-') 
            f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        x=((x*10)+c-'0')%mod;
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(register ll i=1;i<=n+1;++i)
        a[i]=read();
    for(register ll i=1;i<=m;++i)
        if(check(i))
            ans[++num]=i;
    cout<<num<<endl;
    for(register ll i=1;i<=num;++i)
        printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}