HYSBZ 2299 向量

本文探讨了如何通过一组特定的向量组合,拼接出目标向量的算法。通过分析向量组合的奇偶性和最大公约数,提出了四种可能的解决方案,并提供了详细的算法实现代码。

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向量

给你一对数a,b,你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量,问你能不能拼出另一个向量(x,y)。
说明:这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

Input
第一行数组组数t,(t<=50000)
接下来t行每行四个整数a,b,x,y (−2∗109&lt;=a,b,x,y&lt;=2∗109-2*10^{9 } &lt;=a,b,x,y&lt;=2*10^92109<=a,b,x,y<=2109)

Output

t行每行为Y或者为N,分别表示可以拼出来,不能拼出来
Sample Input
3
2 1 3 3
1 1 0 1
1 0 -2 3
Sample Output
Y
N
Y

Hint
样例解释:
第一组:(2,1)+(1,2)=(3,3)
第三组:(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)

一道比较灵活的题目
x1∗a+y1∗b=xx1*a+y1*b=xx1a+y1b=x
x2∗a+y2∗b=yx2*a+y2*b=yx2a+y2b=y

要求x1,y2的奇偶性,y1,x2的奇偶性相同

那么将式子进行变形,我们每次强制x1,y2的奇偶性同为奇或者同为偶。
强制都是偶数2∗x1∗a+2∗y1∗b=x2*x1*a+2*y1*b=x2x1a+2y1b=x2∗x2∗a+2∗y2∗b=y2*x2*a+2*y2*b=y2x2a+2y2b=y 如果有解,那么x,y均为gcd(2a,2b)的倍数;
强制都是奇数2∗(x1−1)a+2∗(y1−1)∗b=x+a+b2*(x1-1)a+2*(y1-1)*b=x+a+b2(x11)a+2(y11)b=x+a+b,下一个式子同理,再次利用裴蜀定理 x+a+b,y+a+b均为gcd(2a,2b)的倍数;
余下的两种情况类似。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

long long gcd(long long a,long long b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int main() {
	long long T,a,b,x,y,tmp;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&x,&y);
		tmp=gcd(2*a,2*b);
		if( x%tmp==0 && y%tmp==0 ) printf("Y\n");//强制均为偶数 
		else if( (x+a+b)%tmp==0 && (y+a+b)%tmp==0 ) printf("Y\n");//强制均为奇数 
		else if( (x+a)%tmp==0 && (y+b)%tmp==0 ) printf("Y\n");
		else if( (x+b)%tmp==0 && (y+a)%tmp==0 ) printf("Y\n");
		else printf("N\n");
		
	}
	return 0;
}
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