题目
题目的主要信息:
- 输入一个整数 n ,求1~n这n个整数的十进制表示中1出现的次数
举一反三:
学习完本题的思路你可以解决如下题目:
方法一:按位统计法(推荐使用)
思路:
数字都是由位数组成,某一位上面是1的个数是一定的,因此我们可以根据这个来处理。
假设我们要计算百位上总共有多少1:首先100-199有100个1,而1100-1199又出现了100个1,于是我们知道了每过1000个数字就会出现100个百位上的1,于是我们就有 ⌊ n / 1000 ⌋ ∗ 100 \lfloor n/1000 \rfloor * 100 ⌊n/1000⌋∗100,细分讨论一下就是:
- 当 n % 1000 < 100 n \% 1000 < 100 n%1000<100,百位上不会出现1;
- 当 100 < = n % 1000 < 200 100 <= n \% 1000 < 200 100<=n%1000<200,百位上出现的1有 n % 1000 − 100 + 1 n \% 1000 - 100 + 1 n%1000−100+1次
- 当 n % 1000 > = 200 n \% 1000 >= 200 n%1000>=200,百位上的1一共100次
于是我们就可以得到计算公式每一位的计算公式:
⌊ n / 1 0 i + 1 ⌋ ∗ 1 0 i + m i n ( m a x ( n % 1 0 i + 1 − 1 0 i + 1 , 0 ) , 1 0 k ) \lfloor n / 10^{i+1} \rfloor * 10^i + min(max(n \% 10^{i+1} - 10^i + 1, 0), 10^k) ⌊n/10i+1⌋∗10i+min(max(n%10i+1−10i+1,0),10k)
公式中 1 0 i 10^i 10i就表示某一位,而前半部分是表示完整在循环中的,后半部分表示部分出现需要讨论的。
具体做法:
- step 1:准备一个基础变量,记录位数,从1开始,每轮循环扩大10倍。
- step 2:从1开始,即个位开始,直到基础变量大于n,每次按照公式统计相应位置1的个数。
图示:
Java实现代码:
import java.util.*;
public class Solution {
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int res = 0;
//MulBase = 10^i
long MulBase = 1;
//每位数按照公式计算
for(int i = 0; MulBase <= n; i++){
//根据公式添加
res += (n / (MulBase * 10)) * MulBase + Math.min(Math.max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, (long)0), MulBase);
//扩大一位数
MulBase *= 10;
}
return res;
}
}
C++实现代码:
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int res = 0;
//MulBase = 10^i
long long MulBase = 1;
//每位数按照公式计算
for(int i = 0; MulBase <= n; i++){
//根据公式添加
res += (n / (MulBase * 10)) * MulBase + min(max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, (long long)0), MulBase);
//扩大一位数
MulBase *= 10;
}
return res;
}
};
Python实现代码:
class Solution:
def NumberOf1Between1AndN_Solution(self , n: int) -> int:
res = 0
#MulBase = 10^i
MulBase = 1
#每位数按照公式计算
i = 0
while MulBase <= n:
i += 1
#根据公式添加
res += (n // (MulBase * 10)) * MulBase + min(max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, 0), MulBase)
#扩大一位数
MulBase *= 10
return res
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( l o g 10 n ) O(log_{10}n) O(log10n),循环次数等于数字 n n n的位数,位数与 n n n呈10的对数关系
- 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1),常数级变量,无额外辅助空间使用
方法二:暴力统计法(扩展思路)
思路:
有人或许会觉得按照位数一次性统计整体想起来有点绕,我们可以试一下这种简单的暴力方法。
我们可以尝试遍历1到n的每个数字,然后对每个数字单独遍历它的每一位,检查是否是1,如果是1则计数。
具体做法:
- step 1:从1遍历到n,查看每一个数字。
- step 2:对于每个数字,用连除法每次判断最后一位数字是否为1,并进行计数。
Java实现代码:
import java.util.*;
public class Solution {
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int res = 0;
//遍历1-n
for(int i = 1; i <= n; i++){
//遍历每个数的每一位
for(int j = i; j > 0; j = j / 10){
//遇到数字1计数
if(j % 10 == 1)
res++;
}
}
return res;
}
}
C++实现代码:
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int res = 0;
//遍历1-n
for(int i = 1; i <= n; i++){
//遍历每个数的每一位
for(int j = i; j > 0; j = j / 10){
//遇到数字1计数
if(j % 10 == 1)
res++;
}
}
return res;
}
};
Python实现代码:
class Solution:
def NumberOf1Between1AndN_Solution(self , n: int) -> int:
res = 0
#遍历1-n
for i in range(1, n + 1):
#遍历每个数的每一位
j = i
while j > 0:
#遇到数字1计数
if j % 10 == 1:
res += 1
j = j // 10
return res
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( n l o g 10 n ) O(nlog_{10}n) O(nlog10n),外循环一共循环 n n n次,内循环最大循环次数不会超过最大数字 n n n的位数即 l o g 10 n log_{10}n log10n
- 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1),常数级变量,无额外辅助空间使用