校招算法笔面试 | 整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)

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题目的主要信息:
  • 输入一个整数 n ,求1~n这n个整数的十进制表示中1出现的次数
举一反三:

学习完本题的思路你可以解决如下题目:

JZ17. 打印从1到最大的n位数

JZ15. 二进制中1的个数

方法一:按位统计法(推荐使用)

思路:

数字都是由位数组成,某一位上面是1的个数是一定的,因此我们可以根据这个来处理。

假设我们要计算百位上总共有多少1:首先100-199有100个1,而1100-1199又出现了100个1,于是我们知道了每过1000个数字就会出现100个百位上的1,于是我们就有 ⌊ n / 1000 ⌋ ∗ 100 \lfloor n/1000 \rfloor * 100 n/1000100,细分讨论一下就是:

  • n % 1000 < 100 n \% 1000 < 100 n%1000<100,百位上不会出现1;
  • 100 < = n % 1000 < 200 100 <= n \% 1000 < 200 100<=n%1000<200,百位上出现的1有 n % 1000 − 100 + 1 n \% 1000 - 100 + 1 n%1000100+1
  • n % 1000 > = 200 n \% 1000 >= 200 n%1000>=200,百位上的1一共100次

于是我们就可以得到计算公式每一位的计算公式:

⌊ n / 1 0 i + 1 ⌋ ∗ 1 0 i + m i n ( m a x ( n % 1 0 i + 1 − 1 0 i + 1 , 0 ) , 1 0 k ) \lfloor n / 10^{i+1} \rfloor * 10^i + min(max(n \% 10^{i+1} - 10^i + 1, 0), 10^k) n/10i+110i+min(max(n%10i+110i+1,0),10k)

公式中 1 0 i 10^i 10i就表示某一位,而前半部分是表示完整在循环中的,后半部分表示部分出现需要讨论的。

具体做法:

  • step 1:准备一个基础变量,记录位数,从1开始,每轮循环扩大10倍。
  • step 2:从1开始,即个位开始,直到基础变量大于n,每次按照公式统计相应位置1的个数。

图示:

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Java实现代码:

import java.util.*;
public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int res = 0;
        //MulBase = 10^i
        long MulBase = 1;
        //每位数按照公式计算
        for(int i = 0; MulBase <= n; i++){ 
            //根据公式添加
            res += (n / (MulBase * 10)) * MulBase + Math.min(Math.max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, (long)0), MulBase);
            //扩大一位数
            MulBase *= 10; 
        }
        return res;
    }
}

C++实现代码:

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int res = 0;
        //MulBase = 10^i
        long long MulBase = 1;
        //每位数按照公式计算
        for(int i = 0; MulBase <= n; i++){ 
            //根据公式添加
            res += (n / (MulBase * 10)) * MulBase + min(max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, (long long)0), MulBase);
            //扩大一位数
            MulBase *= 10; 
        }
        return res;
    }
};

Python实现代码:

class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self , n: int) -> int:
        res = 0
        #MulBase = 10^i
        MulBase = 1
        #每位数按照公式计算
        i = 0
        while MulBase <= n:
            i += 1
            #根据公式添加
            res += (n // (MulBase * 10)) * MulBase + min(max(n % (MulBase * 10) - MulBase + 1, 0), MulBase)
            #扩大一位数
            MulBase *= 10 
        return res

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( l o g 10 n ) O(log_{10}n) O(log10n),循环次数等于数字 n n n的位数,位数与 n n n呈10的对数关系
  • 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1),常数级变量,无额外辅助空间使用
方法二:暴力统计法(扩展思路)

思路:

有人或许会觉得按照位数一次性统计整体想起来有点绕,我们可以试一下这种简单的暴力方法。

我们可以尝试遍历1到n的每个数字,然后对每个数字单独遍历它的每一位,检查是否是1,如果是1则计数。

具体做法:

  • step 1:从1遍历到n,查看每一个数字。
  • step 2:对于每个数字,用连除法每次判断最后一位数字是否为1,并进行计数。

Java实现代码:

import java.util.*;
public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int res = 0;
        //遍历1-n
        for(int i = 1; i <= n; i++){ 
            //遍历每个数的每一位
            for(int j = i; j > 0; j = j / 10){ 
                //遇到数字1计数
                if(j % 10 == 1) 
                    res++;
            }
        }
        return res;
    }
}

C++实现代码:

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int res = 0;
        //遍历1-n
        for(int i = 1; i <= n; i++){ 
            //遍历每个数的每一位
            for(int j = i; j > 0; j = j / 10){ 
                //遇到数字1计数
                if(j % 10 == 1) 
                    res++;
            }
        }
        return res;
    }
};

Python实现代码:

class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self , n: int) -> int:
        res = 0
        #遍历1-n
        for i in range(1, n + 1):
            #遍历每个数的每一位
            j = i
            while j > 0:
                #遇到数字1计数
                if j % 10 == 1:
                    res += 1
                j = j // 10
        return res

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n l o g 10 n ) O(nlog_{10}n) O(nlog10n),外循环一共循环 n n n次,内循环最大循环次数不会超过最大数字 n n n的位数即 l o g 10 n log_{10}n log10n
  • 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1),常数级变量,无额外辅助空间使用
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