牛客题解 | 线性核函数

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线性核函数（Linear Kernel）是一种常用的核函数，其计算公式为：
$$K(x,y)=x^{T}y$$
其中，$x$和$y$是两个向量。

该算法的本质是计算两个向量的内积。

标准代码如下

def kernel_function(x1, x2):
    return np.inner(x1, x2)

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简单二维卷积（Simple 2D Convolution）是一种常用的卷积操作，其计算公式为：
$$C(i,j)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}I(i+m,j+n)\cdot K(m,n)$$
其中，$I$是输入图像，$K$是卷积核，$C$是输出图像。

通俗点来说，就是将卷积核在输入图像上滑动，计算每个位置的卷积结果，从而实现图像的特征提取，利用padding和stride保证卷积核在输入图像的边缘也能进行卷积操作。

标准代码如下

def simple_conv2d(input_matrix: np.ndarray, kernel: np.ndarray, padding: int, stride: int):
    input_height, input_width = input_matrix.shape
    kernel_height, kernel_width = kernel.shape

    padded_input = np.pad(input_matrix, ((padding, padding), (padding, padding)), mode='constant')
    input_height_padded, input_width_padded = padded_input.shape

    output_height = (input_height_padded - kernel_height) // stride + 1
    output_width = (input_width_padded - kernel_width) // stride + 1

    output_matrix = np.zeros((output_height, output_width))

    for i in range(output_height):
        for j in range(output_width):
            region = padded_input[i*stride:i*stride + kernel_height, j*stride:j*stride + kernel_width]
            output_matrix[i, j] = np.sum(region * kernel)

    return output_matrix

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对于给定的矩阵 A，其转置矩阵表示为 A^T。数学表达式为：

$$A_{ij}^T=A_{ji}$$
其中，$A_{ij}^T$ 是转置矩阵 A^T 的第 i 行第 j 列元素，$A_{ji}$ 是原矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素。标准代码如下：

def transpose_matrix(a: List[List[Union[int, float]]]) -> List[List[Union[int, float]]]:
    return [list(i) for i in zip(*a)]

当然也可以使用numpy库的.T方法简化计算

def transpose_matrix(a: List[List[Union[int, float]]]) -> List[List[Union[int, float]]]:
    import numpy as np
    return np.array(a).T.tolist()