牛客题解 | 使用Jacobi方法求解线性方程组

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Jacobi方法是一种迭代求解线性方程组的方法。对于线性方程组 Ax = b，其迭代步骤如下：

1. 将矩阵A分解

• 将矩阵A分解为对角矩阵D和非对角矩阵N：A = D + N
• 其中D为对角矩阵，N为非对角矩阵

2. 迭代公式

对于每个方程i，在第k+1次迭代时：
$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k)}\right)$$
其中：

• $a_{ii}$ 是矩阵A的第i个对角元素
• $b_i$ 是向量b的第i个元素
• $a_{ij}$ 是矩阵A的第i行第j列元素
• $x_j^{(k)}$ 是第k次迭代时x的第j个分量

标准代码如下

def solve_jacobi(A, b, n) :
    d_a = np.diag(A)
    nda = A - np.diag(d_a)
    x = np.zeros(len(b))
    x_hold = np.zeros(len(b))
    for _ in range(n):# 迭代
        for i in range(len(A)): # 更新
            x_hold[i] = (1/d_a[i]) * (b[i] - sum(nda[i]*x))
        x = x_hold.copy()
    return np.round(x,4).tolist()