牛客题解 | 跳台阶_1

题目

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#描述
此题和斐波拉契数列做法一样。也将用三个方法来解决,从入门到会做。
考察知识:递归,记忆化搜索,动态规划和动态规划的空间优化。
难度:一星

#题解
###方法一:递归
题目分析,假设f[i]表示在第i个台阶上可能的方法数。逆向思维。如果我从第n个台阶进行下台阶,下一步有2中可能,一种走到第n-1个台阶,一种是走到第n-2个台阶。所以f[n] = f[n-1] + f[n-2].
那么初始条件了,f[0] = f[1] = 1。
所以就变成了:f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=1, f[1]=1,目标求f[n]
看到公式很亲切,代码秒秒钟写完。

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        if (number<=1) return 1;
        return jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);
    }
};

优点,代码简单好写,缺点:慢,会超时
时间复杂度:O(2^n)
空间复杂度:递归栈的空间
###方法二:记忆化搜索
拿求f[5] 举例
外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传

通过图会发现,方法一中,存在很多重复计算,因为为了改进,就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢?一般会想到map, 但是此处不用牛刀,此处用数组就好了。

class Solution {
public:
    int f[50]{0};
    int jumpFloor(int number) {
        if (number <= 1) return 1;
        if (f[number] > 0) return f[number];
        return f[number] = (jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2));
    }
};

时间复杂度:O(n), 没有重复的计算
空间复杂度:O(n)和递归栈的空间

方法三:动态规划

虽然方法二可以解决此题了,但是如果想让空间继续优化,那就用动态规划,优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的,最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是,不用递归的过程,直接从子树求得答案。过程是从下往上。

class Solution {
public:
    int dp[50]{0};
    int jumpFloor(int number) {
        dp[0] = 1, dp[1] =1;
        for (int i = 2 ; i <= number ; i ++) dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        return dp[number];
    }
};

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
###继续优化
发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]…f[0],所以保存f[2]…f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        int a = 1 , b = 1 , c = 1;
        for (int i = 2 ; i <= number ; i ++) {
            c = a+b , a = b , b = c;
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
完美!

### NC68 跳台问题的 Python 解法 网上的 NC68 跳台问题是经典的动态规划问题之一。该问题描述如下:一只青蛙一次可以跳上1级台,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台总共有多少种跳法。 #### 动态规划解法分析 此问题可以通过动态规划来解决。设 `f(n)` 表示跳到第 `n` 级台的方法数,则状态转移方程为: \[ f(n) = \sum_{i=1}^{n-1}{f(i)} + 1 \] 其中,初始条件为 \( f(0) = 1 \),表示当台数为零时有一种方法(即不跳)。通过累加之前的状态值并加上当前一步的情况即可得到最终的结果[^1]。 以下是基于以上逻辑实现的一个高效版本代码: ```python class Solution: def jumpFloor(self, number: int) -> int: if number <= 0: return 0 result = 1 temp_sum = 1 for _ in range(2, number + 1): temp_sum += result result = temp_sum return result ``` 这段程序定义了一个类 `Solution` 和其内部函数 `jumpFloor` 来计算给定数量的台有多少种不同的跳跃方式。这里采用迭代的方式代替递归来提高效率,并减少内存消耗[^1]。 另外还存在一种更简洁但时间复杂度较高的递归写法,不过由于可能存在重复计算,在实际应用中并不推荐使用除非加入记忆化机制优化性能: ```python class Solution: memo = {} def jumpFloorRecursive(self, number: int) -> int: if number in self.memo: return self.memo[number] if number == 0 or number == 1: res = 1 else: res = sum([self.jumpFloorRecursive(i) for i in range(number)]) self.memo[number] = res return res ``` 尽管如此,对于大规模输入数据而言,建议优先考虑前者的循环累积算法以获得更好的执行速度和资源利用率[^1]。
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