牛客题解 | 最少的完全平方数

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解题思路

这是一个完全背包问题的变体：

1. 问题分析：

   • 目标：找到最少个数的完全平方数，使其和为 $n$
   • 每个完全平方数可以重复使用
   • 需要找到所有小于等于 $n$ 的完全平方数

2. 动态规划设计：

   • 状态定义：$dp[i]$ 表示和为 $i$ 的最少完全平方数个数
   • 初始化：$dp[0]=0$，其他为无穷大
   • 状态转移：$dp[i]=\min (dp[i],dp[i-j\ast j]+1)$
   • 其中 $j\ast j$ 是小于等于 $i$ 的完全平方数

3. 优化：

   • 只需要考虑小于等于 $\sqrt{n}$ 的数的平方
   • 使用一维 $dp$ 数组即可

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代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

int numSquares(int n) {
    vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
    dp[0] = 0;
    
    // 遍历每个数
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        // 遍历每个可能的完全平方数
        for(int j = 1; j * j <= i; j++) {
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
        }
    }
    
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << numSquares(n) << endl;
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    public static int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;
        
        // 遍历每个数
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            // 遍历每个可能的完全平方数
            for(int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        System.out.println(numSquares(n));
        sc.close();
    }
}

def num_squares(n: int) -> int:
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0
    
    # 遍历每个数
    for i in range(1, n + 1):
        # 遍历每个可能的完全平方数
        j = 1
        while j * j <= i:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
            j += 1
    
    return dp[n]

if __name__ == "__main__":
    n = int(input())
    print(num_squares(n))

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算法及复杂度

• 算法：动态规划
• 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\sqrt{n})$，对于每个数 $i$，需要遍历到 $\sqrt{i}$
• 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$，需要一个 $dp$ 数组