牛客题解 | 快速乘

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解题思路

算法解析

1. 核心思想：

   • 将乘法转换为加法
   • 类似二进制乘法的思路
   • 每次将 $a$ 翻倍，$b$ 右移一位

2. 关键点：

   // 初始取模，减小数值
   a %= p;
   b %= p;
   
   // 使用位运算判断当前位
   if(b & 1)
   
   // 翻倍使用加法
   a = (a + a) % p;
   

3. 限制条件处理：

   • 所有中间值不超过 $2\times 10^7$
   • 只使用加法和取模运算
   • 及时取模控制数值大小

4. 优化说明：

   • 初始取模减小数值
   • 使用位运算优化
   • 及时取模避免溢出

为什么算法正确

1. 原理：

   • 将 $b$ 看作二进制数
   • 对应位为 $1$ 时累加当前的 $a$
   • $a$ 每次翻倍对应二进制位的权重

2. 举例：

   计算 7 * 5 % 10
   7 * 5 = 7 * (4 + 1)
         = 7 * 4 + 7 * 1
   使用加法和取模实现
   

3. 数值控制：

   • 初始取模后 $a,b<p\le 10^7$
   • 每次加法和翻倍后立即取模
   • 保证所有中间值不超过 $2\times 10^7$

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代码

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算 (a * b) % p，只使用加法和取模
int modMultiply(int a, int b, int p) {
    int res = 0;
    a %= p;
    b %= p;
    
    // 类似二进制乘法的思想
    while(b) {
        if(b & 1) {
            // 如果当前位为1，加上对应的a
            res = (res + a) % p;
        }
        // a翻倍，相当于左移一位
        a = (a + a) % p;
        // b右移一位
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main() {
    int q;
    cin >> q;
    
    while(q--) {
        int a, b, p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << modMultiply(a, b, p) << endl;
    }
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    static int modMultiply(int a, int b, int p) {
        int res = 0;
        a %= p;
        b %= p;
        
        while(b > 0) {
            if((b & 1) == 1) {
                res = (res + a) % p;
            }
            a = (a + a) % p;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int q = sc.nextInt();
        
        while(q-- > 0) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int p = sc.nextInt();
            System.out.println(modMultiply(a, b, p));
        }
    }
}

def mod_multiply(a, b, p):
    res = 0
    a %= p
    b %= p
    
    while b:
        if b & 1:
            res = (res + a) % p
        a = (a + a) % p
        b >>= 1
    return res

q = int(input())
for _ in range(q):
    a, b, p = map(int, input().split())
    print(mod_multiply(a, b, p))

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算法及复杂度分析

1. 算法：快速乘

2. 时间复杂度：

   • 每次模乘：$\mathcal{O}(\log b)$
   • $q$ 次查询：$\mathcal{O}(q\log b)$

3. 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$