树状数组 查询与修改

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（1）、单点增减+区间求和

思路：C[x]表示该点的元素:sum(x)=C[1]+C[2]+……C[x]
c为每个数的数值

int c[MAXN];
int sum(int x){int res=0;while(x)res+=c[x],x-=lowbit(x);return res;}
void add(int x,int n){while(x<MAXN)c[x]+=n,x+=lowbit(x);}
int query(int x,int y){return sum(y)-sum(x-1);}

（2）、区间增减+单点查询

思路：C[x]表示该点元素与左边元素的差值:num[x]=C[1]+C[2]+……C[x]
c是差分数组

int arr[MAXN]
inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}
inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
inline int update(int x,int y,int n){add(x,n);add(y+1,-n);}

（3）、区间增减+区间查询

这是最常用的部分，也是用线段树写着最麻烦的部分——但是现在我们有了树状数组！

怎么求呢？我们基于问题2的“差分”思路，考虑一下如何在问题2构建的树状数组中求前缀和：

位置p的前缀和 =
∑i=1pa[i]=∑i=1p∑j=1id[j]

在等式最右侧的式子∑pi=1∑ij=1d[j]
中，d[1] 被用了p次，d[2]被用了p−1

次……那么我们可以写出：

位置p的前缀和 =
∑i=1p∑j=1id[j]=∑i=1pd[i]∗(p−i+1)=(p+1)∗∑i=1pd[i]−∑i=1pd[i]∗i

那么我们可以维护两个数组的前缀和：
一个数组是 sum1[i]=d[i]
，
另一个数组是 sum2[i]=d[i]∗i

。
查询

位置p的前缀和即： (p + 1) * sum1数组中p的前缀和 - sum2数组中p的前缀和。

区间[l, r]的和即：位置r的前缀和 - 位置l的前缀和。
修改

对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改。

对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x。

void add(ll p, ll x){
    for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
        sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void update(ll l, ll r, ll x){
    add(l, x), add(r + 1, -x);
}
ll sum(ll p){
    ll res = 0;
    for(int i = p; i; i -= i & -i)
        res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
    return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r){//输出
    return sum(r) - sum(l - 1);
}

树状数组—区间最大值

inline void init()
{
    CLR(arr,0);
    for(int i=1;i<=N;++i)
        for(int j=i;j<=N&&arr[j]<num[i];j+=lowbit(j))
            arr[j]=num[i];
}
inline int query(int L,int R)
{
    int res=0;
    for(--L;L<R;){
        if(R-lowbit(R)>=L){res=max(res,arr[R]);R-=lowbit(R);}
        else{res=max(res,num[R]);--R;}
    }
    return res;
}
inline void update(int x,int val)
{
    int ori=num[x];
    num[x]=val;
    if(val>=ori)
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]<val;i+=lowbit(i))
            arr[i]=val;
    else{
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]==ori;i+=lowbit(i))
        {
            arr[i]=val;
            for(int j=lowbit(i)>>1;j;j>>=1)
                arr[i]=max(arr[i],arr[i-j]);
        }
    }
}