矩阵论学习

矩阵论学习–书本：矩阵论引论 第二版

一、定义1.2.13的证明

定义：正方矩阵A满秩的充要条件是A是可逆矩阵。

证明：
若A为满秩矩阵，则detA≠0。则用A的元素aij(i,j=1,2,…,n)构造一个新矩阵B如下：
$$B=\tilde{A}/detA=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}& \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& \\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}& \end{array}\right]/detA$$
其中的bij为矩阵A的元素aji的代数余子式(i,j=1,2,…,n)。

那么AB=BA=I。（因为对应元素与其代余式乘积之和正好等于矩阵A的行列式；而元素与其非对应代余式乘积之和为零，具体为啥不知道，但是可以找一个建议的矩阵进行试验），于是A是可逆矩阵，$$\tilde{A}$$为A的伴随矩阵。

反之，若A是可逆矩阵，则存在B，使得AB=BA=I，对其取行列式得：
det I = det AB = det A det B = 1 不等于0
因此det A 不等于 0。

证明完毕。