用PHP实现丢手帕问题（约瑟夫问题）

问题描述：有n个人围成一圈，然后从任意指定的一个 人那里为起点，以m个人为单位，每转m个人第m个人被杀死。求最后不会被杀死的人。

遗留问题：

在此用php做简单的实现，php中对递归有100次的深度限制，所以在此不用递归，用循环；php中处理数组的函数比较多，所以采用顺序表（数组），顺序表删除元素比较复杂，所以效率比较低，只能处理10000一下的数据。链表中的遍历比较复杂，同样会导致效率低下，以后再做顺序表与链表的结合。

模拟实现：

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1. class Dhc  
2. {  
3.     private function dropHandkerchief($start=0,$distance,$menArray)  
4.     {  
5.         $count = count($menArray);    
6.         $pos = $distance - 1;    
7.         $start = $start > ($count-1) ? 0 : $start;//开始位置大于总人数则默认从第一个开始    
8.         $pos = $start + $pos;//第一个要被出列的人的位置，pos为下标，所以要 -1；    
9.         while($count > 1)    
10.         {    
11.             if($pos < $count)//判断要出列的人的位置是否超出数组大小，超出则减去(或取模)数组大小，从头开始    
12.             {    
13.                 echo "第". $menArray[$pos] ."人出列<br />";    
14.                 array_splice($menArray,$pos,1);//删除要出列的人    
15.                 $count  = count($menArray);//重新计算大小    
16.                 $pos += $distance - 1;//下一个要出列的人的位置，pos 为要数的第一个人，所以第 n 个人的下标为 pos + n -1    
17.             }else    
18.             {    
19.                 //$pos -= $count;    
20.                 $pos = $pos % $count;    
21.             }  
22.         }    
23.         echo '<br />';    
24.         echo "第" .$menArray[0]. "人被留下";    
25.     }    
26.   
27.     public function drop()  
28.     {  
29.         $menArray = array();//    
30.         $total = 100;//总人数    
31.         $distance = 50;//间隔人数    
32.         $start = 3;//从第几个人开始    
33.         $i = 0;    
34.         while($i < $total)//初始化    
35.         {    
36.             $menArray[$i] = $i + 1;    
37.             $i++;    
38.         }    
39.         $this->dropHandkerchief($start, $distance, $menArray);    
40.     }  
41. }  

数学推导实现：（20170914）

简单改变一下问题的描述：有 n 个人，编号是 0 - n-1，从 0 开始数，数到 m 则 m 死，下一个人继续从 0 开始数，直到只剩最后一个人，求这个人最开始的编号。

每死一个人就重新开始，相当于减小了问题的规模，就是要解 n 个规模的解：n, n-1, n-2, n-3 …… 3, 2, 1。

假如在第二轮(n-1个人的规模)中死的那个人编号是 x（这个编号是第一个人死后，重新从 0 开始编排的），则可以推导出这个人在第一轮（人数为 n 时）中的编号是：(x + m)%n。

(n-2)中死的人在(n-1)中的编号是：(x + m)%(n-1)

(n-3)中死的人在(n-1)中的编号是：(x + m)%(n-2)

……

( 1 )中死的人在( 2 )中的编号是：(x + m)%2， 此时 x = 0；

把上面的过程倒过来，已知规模为 1 时，x = 0；

求规模为 2 时，x2 的值：(x + m) % 2 = x2

求规模为 3 时，x3 的值：(x2 + m) % 3 = x3

 ……

求规模为 n 时 x 的值。

[php]  view plain  copy

1. $n = 100;  
2. $m = 3;  
3. $s = 0;  
4.   
5. $x = 0;  
6. for ($i=2; $i<=$n; $i++) {  
7.     $x = ($x + $m) % $i;  
8. }  
9. echo ($x + $s) % $n;  
10. // $s=0,表示从第 0 个开始数，如果不是从 0 开始，则只需要向后推 $s 个即可