秘密分享（Secret Sharing）

秘密共享（Secret Sharing，SS）是1979年由Shamir和Blakey提出的，并在此之后40多年秘密共享被广泛认识和深入的研究。

秘密共享著名的(t，n)阈值方案如图所示：设秘密s被分成n个部分，每一部分被称为一个子秘密并由一个持有者持有，并且大于等于t个参与者所持有的子秘密可以重构(Reconstruction)秘密s，而少于t个参与者所持有的子秘密无法重构秘密并且无法获得秘密s的任何信息。

秘密共享方案的三种实现技术：

1. 基于超平面几何的秘密共享，包括Blakley方案和Brickell方案；
2. 基于插值多项式的秘密共享，包括经典的Shamir阈值秘密共享方案；
3. Mignotte，Asmuth & Bloom提出的基于中国剩余定理的秘密共享；

共享原理

形式化定义如下：

其中s表示需要拆分的秘密，t表示恢复门限，n为拆分数目。
存在恢复函数 R,对于任意 m ≥ t 有

shamir算法

shamir是一种秘密共享的实现1，利用了拉格朗日插值公式2。详细原理见参考文献。
下面补充一个shamir算法的有用的性质：加同态。
已知已有两个用于秘密共享的多项式
 以及素数p。通过秘密共享分享的分片形式是 。
将分片中的多项式结果求和，得到 。

根据shamir算法中的定义，a0,b0 是原秘密。因此通过恢复算法对求和后的分片进行恢复，将会得到 a0 + b0 。这就实现了秘密求和。在双方求和的情况下，没有意义，但在参与者数目大于等于3时，就会有用。