无序数组求中位数——小根堆法原理(附python代码)

小根堆法：

定义中位数为一个有序数组(len(array)+1)//2处的元素，“//”代表下取整。我知道中位数的定义分按照数组长度的奇偶性分两种，但是面试官会告诉你这里求的中位数就是有序数组(len(array)+1)//2处的元素。
如：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 的中位数是(9+1)//2 = 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的中位数是(10+1)//2=5
现在来求无序数组的中位数：
步骤 1 ：如果数组长度为奇数则取数组的前 (len(array)+1)//2 个元素建立 一个最小堆，如果为偶数则取(len(array)+1)//2 +1个元素建立 一个最小堆。
步骤 2 ：遍历剩余元素，如果该元素小于堆顶元素，则丢弃或不作处理；如果该元素大于堆顶元素，则将其取代堆顶元素，并且重新调整当前堆为最小堆。
步骤 3 ：遍历结束后，返回堆顶元素，它就是所要寻找的中位数。
原理：
(建立大根堆也是行得通，这里选小根堆来解释)
这里假设数组长度为奇数，步骤1中说是从前往后取(len(array)+1)//2 个元素建立 一个最小堆，其实任意取(len(array)+1)//2 个元素都可以，所取的这(len(array)+1)//2 个元素有两种可能的情况。
情况1：这(len(array)+1)//2 个元素中包含了中位数。
情况2：这(len(array)+1)//2 个元素没有包含中位数。
对于情况1:
中位数可能位于堆顶或者堆内部。
(1)当中位数位于堆顶的时候，因为是小根堆，所以数组内所有比中位数大的元素都在小根堆内，此时遍历数组剩余元素，根本不可能找到比堆顶大的元素，所以遍历完数组剩余元素堆顶保持不变。
如1 2 3 4 5 6 7 8 9 任取(9+1)//2=5个元素建立小根堆，如果5是堆顶，那堆内的其余元素只能是6 7 8 9了。遍历剩余元素1 2 3 4 ，堆顶保持不变。
(2)当中位数位于堆内的时候，堆顶元素比中位数小，则数组剩余元素中必然含有比中位数大的元素。如果用数组剩余元素中比堆顶小的来替换堆顶，那小根堆根本不用调整，这谁顶得