ZCMU-1184 帮我求算一下斐波那契数吧（矩阵快速幂+应用）

最新推荐文章于 2020-08-05 09:27:33 发布

waterboy_cj

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1184: 帮我求算一下斐波那契数吧

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 261 Solved: 57
[Submit][Status][Web Board]

Description

AYY小朋友对斐波那契数非常感兴趣，他知道f[1]=1,f[2]=1,并且从第三个斐波那契数开始f[n]=f[n-2]+f[n-1]（n>=3），可是AYY小朋友只会计算前十个斐波那契数，因此他向你请教，让你帮忙计算第N个斐波那契数是多少，但是由于结果非常大，只需告诉他对1000000007取模的结果。

Input

多组测试数据

每行一个n（1<=n<=2^32-1）

Output

输出第n个斐波那契数的结果（对1000000007取模）

Sample Input

100

1000

10000

Sample Output

687995182

517691607

271496360

HINT

Source

【解析】

如果每次用递推公式，显而易见是会超时的（1<=n<=2^32-1），预处理打表的话，上亿肯定内存超限了。那就只能引入新方法，快速幂矩阵了。

之前已经了解过整数快速幂了，则用相似的原理，矩阵也能快速幂

直接先看代码的实现

struct Matrix
{
	int a[maxn][maxn];
}ans, res;
Matrix Mulit(Matrix A, Matrix B, int n)//矩阵A,B为同n阶方阵
{
	Matrix temp;//用于存放A*B的结果
	memset(temp.a, 0, sizeof(temp.a));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			for (int k = 1; k <= n; k++)
				temp.a[i][k] += A.a[i][k] * B.a[k][j];
	return temp;
}

void QuickPower(int N, int n)
{
	memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));
	for (int i = 1; i <= n; i++)ans.a[i][i] = 1;
	while (N)
	{
		if (N & 1)
			ans = Mulit(ans, res, n);
		res = Mulit(res, res, n);
		N = N >> 1;
	}
}

如何运用呢，最经典的用法就是此题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 4;
const ll mod = 1000000007;
struct Matrix
{
	ll m[maxn][maxn];
}ans,res;

Matrix Mulit(Matrix a, Matrix b, ll n)
{
	Matrix temp;
	for (ll i = 1; i <= n; i++)
		for (ll j = 1; j <= n; j++)
			temp.m[i][j] = 0;
	for (ll i = 1; i <= n; i++)
		for (ll j = 1; j <= n; j++)
			for (ll k = 1; k <= n; k++)
				temp.m[i][j] = (temp.m[i][j] + ((a.m[i][k] % mod) * b.m[k][j]%mod)) % mod;
	return temp;
}

ll QuickPower(ll N, ll n)
{
	for (ll i = 1; i <= n; i++)
		for (ll j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (i == j)ans.m[i][j] = 1;
			else ans.m[i][j] = 0;
		}
	memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
	res.m[1][1] = 1;
	res.m[1][2] = 1;
	res.m[2][1] = 1;
	res.m[2][2] = 0;
	while (N)
	{
		if (N & 1)
			ans = Mulit(ans, res, n);
		res = Mulit(res, res, n);
		N = N >> 1;
	}
	Matrix ok;
	ok.m[1][1] = ok.m[2][1] = 1;
	ok.m[1][2] = ok.m[2][2] = 0;
	ok = Mulit(ans, ok, n);
	return ok.m[1][1];
}


int main()
{
	ll n;
	while (~scanf("%lld", &n))
	{
		if (n <= 2)
			printf("1\n");
		else
			printf("%lld\n", QuickPower(n - 2, 2));
	}

	return 0;
}