3、组合安全线性时态逻辑合成与内存模型自动化证明

组合安全线性时态逻辑合成与内存模型自动化证明

1. 组合安全线性时态逻辑合成

1.1 理论基础

在安全游戏和线性时态逻辑（LTL）合成领域，有几个重要的引理和定理。
- 引理 2 ：设 D、W 和 Dt 如前文定义，那么代理在安全游戏 G = ⟨X, Y, D⟩ 中有获胜策略，当且仅当代理在安全游戏 Gt = ⟨X, Y, Dt⟩ 中有获胜策略。该证明基于引理 1。
- 引理 3 ：代理在安全游戏 G = ⟨X, Y, Dt( {i,j})⟩ 中有获胜策略，当且仅当 ϕi ∧ ϕj 是可实现的。证明过程为：首先观察到 ϕi ∧ ϕj 可实现，当且仅当存在一个代理策略 σ，它在安全游戏 Gi = ⟨X, Y, Di⟩ 和 Gj = ⟨X, Y, Dj⟩ 中都是获胜策略，其中 Di 和 Dj 分别是 ϕi 和 ϕj 的确定安全自动机（DSA）。根据引理 2，可知 σ 在基于 Dt(_i) 和 Dt(_j) 的安全游戏中也是获胜策略，进而它也是 Dt( {i,j}) = Dt( i) ∩ Dt(_j) 的获胜策略。
- 定理 5 ：安全 LTL 合成问题 P = ⟨X, Y, ϕ⟩（其中 ϕ = (\bigwedge {1\leqslant i\leqslant n}) ϕi）是可实现的，当且仅当代理在安全游戏 G = ⟨X, Y, Dt⟩ 中有获胜策略，其中 Dt 是通过基于策略的组合方法得到的最后一个 DSA。通过反复应用引理 3 可证明，代理对于输入公式 ϕ 的获胜策略 σ，当且仅当它是基于单个 DSA Dt