21、有限域 GF(2m) 中的正规基算术运算

有限域 GF(2m) 中的正规基算术运算

1. 正规基的基本概念

在有限域 GF(2m) 中，正规基是一组线性无关的元素集合 {β, β², β⁴, …, β^(2m - 1)}。域中的每个元素 a 都可以唯一地表示为：
a = a₀β + a₁β² + a₂β⁴ + … + aₘ₋₁β^(2m - 1)，其中 aᵢ ∈ GF(2)，其对应的二进制表示为 (a₀a₁a₂ … aₘ₋₁)。乘法单位元表示为 (111 … 1)，加法单位元表示为 (00 … 0)。

以 GF(2⁴) 为例，其正规基表示如下表所示：
| 正规基表示 | 对应元素 |
| ---- | ---- |
| (0000) | 0 |
| (1000) | β |
| (0001) | β⁸ |
| (1001) | β + β⁸ |
| (0010) | β⁴ |
| (1010) | β + β⁴ |
| (0011) | β⁴ + β⁸ |
| (1011) | β + β⁴ + β⁸ |
| (0100) | β² |
| (1100) | β + β² |
| (0101) | β² + β⁸ |
| (1101) | β + β² + β⁸ |
| (0110) | β² + β⁴ |
| (1110) | β + β² + β⁴ |
| (0111) | β² + β⁴ + β⁸ |
| (1110) | β + β² + β⁴ + β⁸ |

2. 加法、减法和平方运算

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