13、模块化乘法算法详解

模块化乘法算法详解

1. 引言

在数字计算中，模块化乘法是一个重要的操作，尤其在密码学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍几种常见的模块化乘法算法，包括Barrett约简乘法、Montgomery约简乘法以及特殊模数的乘法。

2. Barrett约简乘法

Barrett约简是一种用于计算整数除法近似商和余数的方法。对于 $a = u \bmod m$（其中 $u < m^2$），其计算步骤如下：
- $\tilde{m} = \lfloor r^{2n}/m\rfloor$
- $\tilde{q} = \left\lfloor\left\lfloor u/r^{n - 1}\right\rfloor * \tilde{m}/r^{n + 1}\right\rfloor$
- $\tilde{a} = u - \tilde{q}m$
- $a = \begin{cases}
\tilde{a}, & \text{if } \tilde{a} < m \
\tilde{a} - m, & \text{otherwise}
\end{cases}$

若要计算 $xy \bmod m$，只需增加 $u = xy$ 的计算，然后将该算法与乘法算法结合。具体算法如下：
- $Z_0 = 0$
- $\tilde{m} = \lfloor r^{2n}/m\rfloor$
- $U_i = rZ_i + y_{n - i - 1}x$，$i = 0, 1, 2, \ldots, n - 1$
- $\tilde{q} i