1.康拓展开和康拓展开逆运算

1.康拓展开定义及公式

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
——百度百科

康拓展开运算：

$$X=A_n\times(n-1)!+A_n\times(n-2)!+\cdots+A_i\times(i-1)!+\cdots+A_1\times0!$$
其中$A_i$为整数，表示在这个排列里第 i 个数字之后有多少个比这个数字小的数字，并且 $0\le A_i\le i, 1\le i\le n$ 。

举个栗子

有一个5个数的数组$\{1,2,3,4,5\}$，从它的全排列组合中，计算出34152的康拓展开值。

• 第一位是3，后边小于3的数字有2个，因此$A[5]=2$，则第一位小于3的所有排列组合为$A[5]\times(5-1)!$
• 第二位是4，后边小于4的数字有2个，因此$A[4]=2$，所以有$A[4]\times(4-1)!$
• 第三位是1，后边小于1的数字为0，因此$A[3]=0$，所以有$A[3]\times(3-1)!$
• 第四位是5，后边小于5的数字有1个，因此$A[2]=1$，所以有$A[2]\times(2-1)!$
• 最后一位后边没数了，所以$a[1]=0$

综上所述

$$X=2\times4!+2\times3!+0\times2!+1\times1!+0\times0!=61$$
所以可得到，比34152小的组合有61个，34152排在第62位。

2.康拓展开的逆运算

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。

正向运算是求一个排列在全排列中的位置 n，那么逆运算就可以求在全排列中的第 n 个排列。

• 首先要将 $n-1$，因为根据上边的正向计算可以知道，我们要算的是比 n 小的排列
• 求第62位的排列，$62-1=61$
• 用$61\div 4!=2\cdots13$，则$A[5]=2$，说明后边比第一位小的数字有2个，所以第一位是3
• 用$13\div 3!=2\cdots 1$，则$A[4]=2$，说明后边比第二位小的数字有2个，因为3已经取过，所以是4
• 用$1\div 2!=0\cdots1$，则$A[3]=0$，说明后边比第三位小的数字有0个，所以为1
• 用$1\div 1!=1\cdots0$，则$A[2]=1$，说明后边比第四位小的数字有1个，所以为5
• 用$0\div 0!=0$恒成立，最后一位就是剩下的数字2
• 综上所属，所求排列为34152