hdu 2255

Kuhn-Munkras 算法，掌握这个算法之前你需要掌握匈牙利算法;

这个算法挺难懂得，我自己也是云里雾里，建议参考一些大牛的博客；

这位博主也是转载的,内容是值得肯定的：点击打开链接（尤其是相等子图的完备匹配是原图最佳匹配的证明，这个是算法的基础）；

KM算法流程如下：

1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边edge(i, j)都有lx[i]+ly[j]>=weight(i,j)，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=weight(i,j)，称为可行边(也就是相等子图里的边）

2）KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个 匹配一定是最佳的；

3）一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边

4）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用visx），以进行后面的修改

5）增广的结果有两种：若成功（找到了增广路），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广路），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的 数量增加（见注释一，代码下面）

6）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f

const int maxn = 305;
int n, nx, ny;
int lx[maxn], ly[maxn], visx[maxn], visy[maxn], G[maxn][maxn], match[maxn];

int findpath(int x){
    visx[x] = 1;
    for(int y = 0; y < ny; ++y){
        if(!visy[y] && (lx[x] + ly[y] == G[x][y])){  //(x, y)在相等子图中;
            visy[y] = 1;
            if(match[y] == -1 || findpath(match[y])){
                match[y] = x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

void KM(){   //
    for(int x = 0; x < nx; ++x){
        while(true){
            memset(visx, 0, sizeof(visx));
            memset(visy, 0, sizeof(visy));
            if(findpath(x))  //如果找到增广路；
                break;
            else{ //匹配失败, lx[]-delta, ly+delta;(x, y在增广路中); （这里补充证明,见注释1）
                int delta = INF;
                for(int i = 0; i < nx; ++i){
                    if(visx[i])  //x在增广路中;
                        for(int j = 0; j < ny; ++j){
                            if(!visy[j]){  //y不在增广路中;
                                delta = min(delta, lx[i]+ly[j]-G[i][j]);
                            }
                        }
                }
                for(int i = 0; i < nx; ++i) if(visx[i]) lx[i] -= delta;
                for(int i = 0; i < ny; ++i) if(visy[i]) ly[i] += delta;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        nx = ny = n;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                scanf("%d", &G[i][j]);
            }
        }
        memset(lx, 0, sizeof(lx));
        for(int i = 0; i < nx; ++i)
            for(int j = 0; j < ny; ++j)
                lx[i] = max(lx[i], G[i][j]);
        memset(ly, 0, sizeof(ly));
        memset(match, -1, sizeof(match));
        KM();
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            if(match[i] != -1)
                ans += G[match[i]][i];
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

注释一：

对于正在增广的增广路径上属于集合X的所有点减去一个常数delta，属于集合Y的所有点加上一个常数delta。

对于图中任意一条边edge(i,j) （其中i在集合X中，j在集合Y中）权值为weight(i,j)

(1)如果i和j都属于增广路,那么lx[i] - delta + ly[j] + delta = lx[i] + ly[j]值不变，也就说edge(i,j)可行性不变，原来是相等子图的边就还是，原来不是仍然不是。

(2)如果i属于增广路，j不属于增广路,那么lx[i] - delta + ly[j]的值减小,也就是原来这条边不在相等子图中(否则j就会被遍历到了)，现在可能就会加入到相等子图。(因为之前lx[i] + ly[j] >= weight(x,y)，现在lx[i] + ly[j]的值减小了，有可能会满足lx[i] + ly[j] == weight(i,j)，这是相等子图中的边满足的条件）

(3)如果i不属于增广路，j属于增广路,那么lx[i] + ly[j] + delta的值增大，也就是说原来这条边不在相等子图中(否则j就会被遍历到了)，现在还不可能加入到相等子图。

(4)如果i,j都不属于增广路，那么lx[i] + ly[j] = lx[i] + ly[j]值不变,可行性不变

所以，经过处理,lx[], ly[] 的可行性不会发生改变，增加了加入到相等子图的记录;