王兆镇的博客

大家好！今天我们要聊一个让无数大学生又爱又恨的话题——导数！别怕，我会用最有趣的方式带你理解这个重要概念。想象你正开车经过学校，突然校长拿着测速仪对你喊："同学，你现在的瞬时速度是多少？“这个"瞬时速度"就是导数——它测量的是函数在某一点的"变化速度”。数学定义f′xlim⁡h→0fx0h−fx0hf′xh→0lim​hfx0h−fx0​f′xlim⁡Δx→0fx0Δx−fx0Δxf′xΔ。

做人要连续：表里如一，说到做到做事要闭区间连续：有始有终，善始善终恋爱要避开振荡间断：稳定胜过一切，别作！每点有定义（不玩消失）极限都存在（情绪稳定）极限等于函数值（表里如一）

掌握无穷小的比较和等价替换是计算极限的利器。记住：乘除可换，加减谨慎，复合要看整体。通过大量练习，你一定能熟练运用这些技巧！下一章我们将学习极限的运算四则法则，敬请期待。思考题：计算lim(x→0) [(1+x)¹/ˣ - e]/x =?（提示：需要更高阶的展开）

在上一章中，我们介绍了极限的基本概念和直观理解。本章将深入讲解极限的四则运算法则，并详细介绍五种常见的求极限方法，包括代入法、有理分式处理、分子分母比较、多项式极限、无穷比无穷型极限等。这些方法是微积分的基础，掌握它们能帮助你轻松应对大多数极限问题！方法适用情况关键步骤代入法函数连续直接代入x=a有理分式处理0/0或∞/∞因式分解/有理化同除最高次项x→∞的有理分式分子分母同除xⁿ多项式比较比较分子分母增长速度看最高次项洛必达法则0/0或∞/∞分子分母分别求导。

当变量xxx无限趋近于某个值（通常是0）时，如果函数fxf(x)fx的绝对值可以比任何正数都小，就称fxf(x)fx为无穷小量。🌰经典例子fxxf(x) = xfxx当x→0x\to0x→0时fxsin⁡xfxsinx当x→0x\to0x→0时fill:#333;color:#333;color:#333;fill:none;求导积分比较极限无穷小瞬时变化率累积求和无穷大函数增长速度渐近线分析📚推荐延展阅读。

对于任意小的正数ϵ，存在一个 δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ϵ。想象你观察一个函数 f(x) 当 x 无限接近某个值 a 时的行为。简单来说：**只要 x 足够接近 a ，f(x) 就能无限接近 L **。表示“当 x 趋近于 a 时， f(x) 趋近于 L。你会发现 f(x) 无限接近 2。左右极限不相等，故极限不存在。：当x→∞ 时函数的趋势。：左右极限存在且相等。，而非该点的实际值。

极限唯一性（反证法得出）、单调有界必收敛、

定义域（允许输入的x值的集合）、值域（所有可能输出的y值范围），函数定义域： 下述函数中f(x) f函数的名称,x函数的输入变量；其实，微积分是理解世界的一把钥匙，它藏在火箭升空、手机导航、甚至你骑自行车时的速度变化里！\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \quad (\text{F是f的原函数})补充：左邻域，右邻域，左邻域，右邻域；：微积分能帮你从“静态”的数字中，看到“动态”的规律！（正面：导数公式，背面：几何意义+例题）补充：包含，不包含，全集，