The smallest free number

最新推荐文章于 2024-08-28 22:52:41 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-28 22:52:41 发布 · 1.1k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#haskell

haskell 专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

本文探讨了在无序自然数集合中寻找最小未出现整数的三种算法，包括直接搜索、布尔数组检查及分治策略，展示了不同方法的实现与效率分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

The smallest free number

介绍

假设给定了一个自然数的集合Set X，现在要求找出最小的一个不在集合Set X中的自然数。

现在我们假设如果集合Set X中的数据是按非降序给定的，那此时解法也非常的直观，我们只要从头开始比较X和集合[0..]，第一个不同的数即为所求，但是，当Set X是以一个无序给定时，例如：

[08,23,09,00,12,11,01,10,13,07,41,04,14,21,05,17,03,19,02,06]

此时我们要在怎么找出最小数呢？

解法一

我们可以根据有序时的思想，我们只要从头开始判断[0..]是否在Set X中，Haskell代码如下：

vs \\ xs = filter (`notElem` xs) vs

minFree xs = head $ [0..] \\ xs

中序操作符\\和集合运算符\功能差不多，vs \\ xs 是在vs中去除在xs中的元素，此时复杂度为Θ(n2)。

解法二

我们再次分析下，我们是从集合[0..]的0开始找的，然后每个元素去比对是否在Set X中，假设Set X的长度为n，则此时如果元素不重复，并且充满[0..n-1]，则此时满足条件的自然数为n，而且此时n是满足条件的自然数中最大的数了，因为假如Set X的n个元素中有比n大的数，则此时必然满足条件的数是[0..n-1]中的数了，于是根据上面的想法，我们可以根据Set X产生一个长度为n+1序列b，其中每个元素的含义为b_i：自然数i在Set X中是否存在，存在为True，此时我们就可以在序列b中从头开始找有多少个连续的True了，此时True的长度即为所求的自然数了。Haskell代码如下：

search :: Array Int Bool -> Int
search = length . takeWhile id . elems

checklist    :: [Int] -> Array Int Bool
checklist xs =  accumArray (||) False (0,n)
				(zip (filter (<=n) xs) (repeat True))
minFree = search . checklist

上面主要有两个函数，一个是search，另一个是checklist，其中search主要是传入一个Bool的数组，然后从头找出最长的True序列的长度，而checklist则是根据数组的Int list来得到一个Bool的数组，即上面的序列b.

解法三

解法三是运用分治的方法，首先我们给出一些式子：

(as++bs)\\cs =(as\\cs)++(bs\\cs)
as\\(bs++cs)=(as\\bs)\\cs
(as\\bs)\\cs =(as\\cs)\\bs

现在我们假设as和vs不相关，则此时我们可以得到as\\vs=as，bs和us也不相关，则有bs\\us=bs，此时我们可以得到：

(as++bs)\\(us++vs)=(as\\us)++(bs\\vs)

此时，我们让as=[0..b−1] ，bs =[b..]，并且让us=filter(<b)xs，vs=filter(≥b)，则此时我们可以得到

[0..] \\ xs = [0..b-1] \\ us ++ [b..] \\ vs
				where (us,vs) = partition (<b) xs 
				
head (xs++ys) = if null xs then head ys else head xs -- when is the recursive is out??

然后我们分析指导 null xs的含义即 length [0..b-1] == b，于是我们可以定义下函数如下：

minfree xs = minfrom 0 xs

minfrom a xs	                | null xs 		     = a  -- 递归结束的条件
				| length us == b - a = minfrom b vs
				| otherwise          = minfrom a us
				  where (us,vs) = partition (<b) xs

接下去我们要确定b的值，我们希望确定的b值，能够将xs进行等分，这样则对问题的规模可以有效的减小，一个直观想法是

b = a + n / 2 where n = length xs

但是上面是有问题的，为什么呢？

因为上面我们有个假设是这样的 us = [ x | x < b] = [a,b)的，而 vs = [ x | x >= b ] = [b..]，故我们应该要的是

b = a + 1 + n / 2 where n = length xs

这样我们就可以保证上面的式子成立了，并且递归后的问题规模为：

length us ≤n div 2 < n 或者 length vs =n−ndiv 2−1≤n div 2

于是问题的复杂度为

T(n) = T(ndiv 2) + Θ(n)

minfrom a (n,xs)	| n == 0 	 = a
			| m == b - a     = minfrom b (n-m,vs)
			| otherwise      = minfrom a (m,us)
			where    (us,vs) = partition (<b) xs
				 b       = a + 1 + (n / 2)
				 m	 = length us