关于一个求最小交换次数的算法的一个严格证明，是严格证明，不是想当然

问题描述：

有一个1~n的数列的排列，但是这个数列已经被打乱了排列顺序，如果我们只是通过“交换任意两个元素”，那么，要实现元素从1~n的有序排列，“最少的交换次数是多少？”

解答过程：

首先我们纸上可以先写写简单的情况试试，比如排列：4 3 1 2， 交换次数=3；我们可以在多组测试中，边测试边想，真正的实现需要满足：4本该到2处， 2本该到3处， 3本该到1处， 1本该到4处，刚好一个循环。

于是，考虑：

引理：是否对于满足这种一个循环的排列，最少交换次数等于元素个数减去1呢？

可以考虑数学归纳法。

首先k=1,2,3时我们可以知道是成立的；

假设当 n <=k 时， 这种单循环排列的最少交换次数为n-1;

考虑n=k+1的情况： 这时，我们任意交换k+1个中的两个元素，会发现单循环分裂成了两个单循环（比如上述，4和1交换后，序列变成 1 3 4 2 此时 剩下了<1> 和 <3 4 2>两个子序列， <1>交换次数=0 <3 4 2>交换次数=2，那么总的交换是3次；如果我们交换1和2（本次交换没有任何一个元素归位），剩下的是序列4 3 2 1 ,是两个单循环序列<4 1>和<3 2>，总的交换还是1+（1+1) = 3  = 4 -1