前缀和与差分

1. 前缀和 (Prefix Sum)

定义：将数组中前n个元素累加得到的新数组，用于快速计算区间和13。

• 一维公式：sum[i] = sum[i-1] + arr[i]
• 二维公式：sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + arr[i][j]2

2. 差分 (Difference)

定义：记录相邻元素差值的新数组，用于快速实现区间增减操作37。

• 一维构造：diff[i] = arr[i] - arr[i-1]
• 二维构造：差分矩阵每个元素对应原矩阵的增量变化5

3. 相互关系

• 差分是前缀和的逆运算，二者可相互转换47
• 差分数组的前缀和即原数组，前缀和数组的差分即原数组3

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二、应用场景对比

技术	典型场景	时间复杂度	操作特点
前缀和	区间求和、子矩阵求和	O(1)查询	预处理O(n)，适合高频查询
差分	区间批量增减、动态修改后求最终值	O(1)修改	无需预处理，适合高频修改

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三、实战代码示例

1. 一维区间增减（差分）

Cpp

void rangeUpdate(int l, int r, int val, vector<int>& diff) { diff[l] += val; if(r+1 < diff.size()) diff[r+1] -= val; } // 最终结果通过求差分的前缀和获得[7]()

2. 二维子矩阵求和（前缀和）

Cpp

int querySum(int x1, int y1, int x2, int y2, vector<vector<int>>& sum) { return sum[x2][y2] - sum[x1-1][y2] - sum[x2][y1-1] + sum[x1-1][y1-1]; } // 参考[2]()中的矩阵分解原理

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四、高频考点与技巧

1. 复合应用
   • 差分修改后求前缀和，实现多次区间操作后快速获取结果7
   • 结合二分查找优化边界条件，如「最大子段和」问题4
2. 特殊处理技巧
   • 环形数组：扩展数组为2n长度处理循环区间5
   • 离散化处理：对稀疏大范围数据压缩坐标4
3. 调试要点
   • 验证前缀和与差分数组的互逆性
   • 测试空数组、全零数组等边界情况1

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五、工程实践建议

1. 内存优化
   • 二维场景使用滚动数组降低空间复杂度5
2. 并发处理
   • 差分数组支持并行化区间修改操作7
3. 数据库优化
   • 将前缀和预计算存储，加速统计类查询1

完整代码实现与进阶案例可参考25中的项目实例。在动态规划、图像处理等领域中，这两种技术常作为基础组件与其他算法结合使用。