【2013-1-25】算法每日一题：求非自身所有数乘积后取模

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本文介绍了一道腾讯公司面试题，题目要求计算一列整数中每个数除去自身以外其他数的乘积对给定质数取模的操作，并提供了两种解法。第一种解法利用离散数学公式进行计算，时间复杂度为O(n)；第二种解法通过左右乘积的计算和取模操作实现，同样达到O(n)的时间复杂度。文章还详细解释了解法背后的数学原理及特殊情况处理。

算法每日一题中的题目来源：九度论坛网址：http://t.jobdu.com/forum-120-1.html

题目：
给出一列整数a[n]，求每个数除去自身以外其他数的乘积对给定的一个质数m取模。
如：有数组a[4]分别为3、9、2、7，m为13，那么得到的第一个数是 9*2*7 mod 13 = 9，另外三个是3、7、2
取模是因为给的数很大，会乘超过int的范围。
要求O(n)的解法。

注：本题是腾讯公司求职面试题。

分析：

1.本题最重要的一个思想是：如何求其余数的连乘积？

总结：先求全部数的乘积再除以当前数。这里不允许当前数为0，

针对数列中有零的情况，要特殊考虑：如果数列中有两个或两个以上的零，那输出一定全是零。

如果只有一个零，那么除了当前这个0的对应输出不是零外，其余一定全是零。可以考虑单独记下这个零的位置，然后计算其余数的乘积。可以在第一遍扫描时，添加判断。

2.可能连乘数的乘积很大，会溢出，因此需要取模。考虑离散数学中的公式：(a*b)%k = ((a%k)*(b%k))%k。

因此原题需要第一遍，求出A[i] % K 的连乘积，记为product，第二遍 [ product / (A[i]%K) ] % K 即为结果。

如果题目另有要求：说不能用除法，解法如下：将每个数的左边乘积与右边乘积存起来再相乘取余。

观察题目，就是“有数组a[4]分别为3、9、2、7，m为13，那么得到的第一个数是 9*2*7 mod 13 = 9”
9为除本身以外的数相乘，然后求模。
故可求得每个数左侧所有数的乘积A，与右侧所有数的乘积B，然后两数相乘再求模，即为所得。
可在遍历过程中，一次计算出数组中每个数的左侧乘积，与右侧乘积，故时间复杂度为O(n）。然而空间复杂度也为O（n），这题如果要求空间复杂度为O（1），比较有难度。

代码如下：

int *solve(int a[], int n, int m)
{
int *lmul = new int[n];
int *rmul = new int[n];
lmul[0] = a[0] % m;
rmul[n-1] = a[n-1] %m;
for(int i = 1; i < n; i++)
lmul[i] = (lmul[i-1]*a[i])%m;
for(int i = n-2; i >= 0; i--)
rmul[i] = (rmul[i+1] * a[i])%m;
int *result = new int[n];
result[0] = rmul[1];
result[n-1]  = lmul[n-2];
for(int i = 1; i < n-1; i++)
result[i] = (lmul[i-1]*rmul[i+1])%m;
delete [] lmul;
delete [] rmul;
return result;
}

方法二：
对每个数求关于m的逆元，求出所有数的积取模后，由每个数的逆元得出每个结果。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXN 100005
typedef long long LL;
int a[MAXN];
int n, m;
LL ExGCD(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
     if(b == 0)
     {
         x = 1, y = 0;
         return a;
     }
     LL d = ExGCD(b, a % b, x, y), t = x;
     x = y, y = t - a / b * x;
     return d;
}

int main()
{
     LL all, x, y;
     while(scanf( "%d%d", &n, &m) == 2)
     {
         all = 1;
         for(int i = 0; i < n; i ++)
         {
             scanf("%d", &a[i]);
             all = all * a[i] % m;
         }
         printf("%d\n", all);
         for(int i = 0; i < n; i ++)
         {
             ExGCD(a[i], m, x, y);
             if(i) printf(" ");
             printf("%lld", (all * x % m + m) % m);
         }
         printf("\n");
     }
     return 0;
}

附：离散相关有同学分析如下：

由离散数学中的结论
(a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m
我们先获得一个总余数M=(a1*a2*...*an)%m（计算为了防止溢出可以连环套用上面的式子）
然后对于每个数ai，设Ri=(a1*a2*...*an)/(ai)
则((Ri%m)*(ai%m))%m = M
Ri%m=(M+mx)/(ai%m)，且(M+mx)%(ai%m)=0，其中x为未知数
Ri%m即我们要求的除去ai之后的乘积对m的余数
问题转换为求这个方程
(M+mx)%(ai%m)=0根据余数的性质：
mx%(ai%m)=(ai%m)-M%(ai%m)
这是个同余方程，解法如下：
设(ai%m)-M%(ai%m)=b，ai%m=c
则方程可以写为
mx%c=b
即
mx+cy = b
x、y是未知整数
该不定方程的使得x>0并且x最小的解可使用扩展欧几里得算法(几乎O(1)，其实是O(logm))得到
从而Ri%m=(M+mx)/(ai%m)
时间复杂度为O(Nlogm)，空间复杂度O(1)