DP经典5题

DP一年多没碰过了，今天突然想找找感觉，找了经典的几道DP复习着敲了敲。虽然最大子矩阵，滑雪，石子合并等问题也足够经典，我还是从中找了5道最经典的DP写了这篇博文，如果您是大一，大二想踏入程序竞赛的同学可以当习题做做，如果您像我一样不是ACMer，平时项目中也很少用DP，同样可以回顾一下DP的奥妙。

 

1.最大连续子序列之和

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个， 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。

状态转移方程：sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])

代码清单：

 

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1. #include"stdio.h"
3. main(){
4. inti,sum=0,max=0;
5. intdata[]={
6. 1,-2,3,-1,7
7. };
8. for(i=0;i<sizeof(data)/sizeof(data[0]);i++){
9. sum+=data[i];
10. if(sum>max)
11. max=sum;
12. if(sum<0)
13. sum=0;
14. }
15. printf("%d",max);
16. }

 

2.数塔问题

 

数塔问题 ：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

转移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]

 

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1. #include"stdio.h"
2. #defineN5
3. main(){
4. inti,j;
5. intdata[N][N]={
6. {9,0,0,0,0},
7. {12,15,0,0,0},
8. {10,6,8,0,0},
9. {2,18,9,5,0},
10. {19,7,10,4,16}
11. };
12. for(i=N-1;i>0;i--)
13. for(j=0;j<i;j++)
14. data[i-1][j]+=data[i][j]>data[i][j+1]?data[i][j]:data[i][j+1];
16. printf("%d",data[0][0]);
19. }

3.01背包问题

 

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]

 

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1. #include"stdio.h"
2. #definemax(a,b)((a)>(b)?(a):(b))
6. main(){
8. intv=10;
9. intn=5;
11. intvalue[]={0,8,10,4,5,5};
12. intweight[]={0,6,4,2,4,3};
13. inti,j;
14. intdp[n+1][v+1];
15. for(i=0;i<n+1;i++)
16. for(j=0;j<v+1;j++)
17. dp[i][j]=0;
20. for(i=1;i<=n;i++){
21. for(j=1;j<=v;j++){
22. if(j>=weight[i])
23. dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
24. else
25. dp[i][j]=dp[i-1][j];
26. }
27. }
29. printf("%d",dp[n][v]);
30. }

4.最长递增子序列(LIS)

给定一个序列A_n=a₁,a₂, ... , a_n，找出最长的子序列使得对所有i<j，a_i<a_j。

转移方程：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);

代码清单：

 

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1. #include"stdio.h"
3. main(){
4. inti,j,length,max=0;
5. inta[]={
6. 1,-1,2,-3,4,-5,6,-7
7. };
8. int*b;
9. b=(int*)malloc(sizeof(a));
10. length=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
12. for(i=0;i<length;i++){
13. b[i]=1;
14. for(j=0;j<i;j++){
15. if(a[i]>a[j]&&b[i]<=b[j]){
16. b[i]=b[j]+1;
17. }
18. }
19. }
20. for(i=0;i<length;i++)
21. if(b[i]>max)
22. max=b[i];
24. printf("%d",max);
25. }

 

5.最长公共子序列(LCS)

 

一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

转移方程：

dp[i,j] = 0 i=0 || j=0

dp[i,j] =dp[i-1][j-1]+1 i>0,j>0, a[i] = b[j]

dp[i,j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) i>0,j>0, a[i] != b[j]

 

 

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1. #include"stdio.h"
2. #defineM8
3. #defineN6
6. voidprintLSC(inti,intj,char*a,intstatus[][N]){
7. if(i==0||j==0)
8. return;
9. if(status[i][j]==0){
10. printLSC(i-1,j-1,a,status);
11. printf("%c",a[i]);
12. }else{
13. if(status[i][j]==1)
14. printLSC(i-1,j,a,status);
15. else
16. printLSC(i,j-1,a,status);
17. }
18. }
19. main(){
20. inti,j;
22. chara[]={'','A','B','C','B','D','A','B'};
23. charb[]={'','B','D','C','B','A'};
24. intstatus[M][N];//保存状态
25. intdp[M][N];
27. for(i=0;i<M;i++)
28. for(j=0;j<N;j++){
29. dp[i][j]=0;
30. status[i][j]=0;
31. }
33. for(i=1;i<M;i++)
34. for(j=1;j<N;j++){
35. if(a[i]==b[j]){
36. dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
37. status[i][j]=0;
38. }
39. elseif(dp[i][j-1]>=dp[i-1][j]){
40. dp[i][j]=dp[i][j-1];
41. status[i][j]=2;
42. }
43. else{
44. dp[i][j]=dp[i-1][j];
45. status[i][j]=1;
46. }
49. }
50. printf("最大长度：%d",dp[M-1][N-1]);
51. printf("\n");
52. printLSC(M-1,N-1,a,status);
53. printf("\n");
55. }

 

 

 

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