importance sampling(重要性采样)

问题：
g(x)已知，为x的函数，p(x)为随机变量x的概率密度函数，p(x)解析式已知，计算g(x)在p(x)分布下的均值（数字特征）。
方法：

$$E_{p(x)}(g(x))=\int_{x}^{ }g(x)p(x)dx$$
但是现在的 问题是此定积分很难计算，所以需要使用采样的方法。参照p(x)采样N个样本，按照如下方法计算：
$$E_{p(x)}(g(x))\approx \hat{E}_{p(x)}(g(x))=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}g(x_{i})$$
但是， 问题又来了，很难从p(x)中采样！
方法：
选择一个容易采样的分布q(x),把计算均值的公式做如下转换：
$$E_{p(x)}(g(x))=\int_{x}^{ }g(x)p(x)dx=\int_{x}^{ }g(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx=E_{q(x)}(g(x)\frac{p(x)}{q(x)})$$

现在参照q(x)采样N个样本(x1,x2,……，xN)，计算如下：

$$E_{p(x)}(g(x))\approx \hat{E}_{p(x)}(g(x))=\hat{E}_{q(x)}(g(x)\frac{p(x)}{q(x)})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}[g(x_{i})\frac{p(x_{i})}{q(x_{i})}]$$