Triangle Interior

本文介绍了一种简单的方法来确定一个点是否位于三角形内部。通过检查与三角形顶点形成的凸包中的点数,可以快速判断。若凸包包含三个点,则该点位于三角形内部;若为四个点,则位于外部。

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Triangle Interior

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The interior of the triangle is the set of all points inside a triangle, i.e., the set of all points in the convex hull of the triangle's vertices.

The simplest way to determine if a point lies inside a triangle is to check the number of points in the convex hull of the vertices of the triangle adjoined with the point in question. If the hull has three points, the point lies in the triangle's interior; if it is four, it lies outside the triangle.

To determine if a given point v lies in the interior of a given triangle, consider an individual vertex, denoted v_0, and let v_1 and v_2 be the vectors from v_0 to the other two vertices. Expressing the vector from v_0 to v in terms of v_1 and v_2 then gives

 v=v_0+av_1+bv_2,
(1)

where a and b are constants. Solving for a and b gives

a=(det(v v_2)-det(v_0 v_2))/(det(v_1 v_2))
(2)
b=-(det(v v_1)-det(v_0 v_1))/(det(v_1 v_2)),
(3)

where

 det(u v)=uxv=u_xv_y-u_yv_x
(4)

is the determinant of the matrix formed from the column vectors u and v. Then the point v lies in the interior of the triangle if a,b>0 and a+b<1.

If the convex hull of the triangle vertices plus the point v_0 is bounded by four points, the point v_0 lies outside the triangle. However, if it contains three points, the point v_0 may lie either in the interior or in the exterior.

标题基于SpringBoot+Vue的社区便民服务平台研究AI更换标题第1章引言介绍社区便民服务平台的研究背景、意义,以及基于SpringBoot+Vue技术的研究现状和创新点。1.1研究背景与意义分析社区便民服务的重要性,以及SpringBoot+Vue技术在平台建设中的优势。1.2国内外研究现状概述国内外在社区便民服务平台方面的发展现状。1.3研究方法与创新点阐述本文采用的研究方法和在SpringBoot+Vue技术应用上的创新之处。第2章相关理论介绍SpringBoot和Vue的相关理论基础,以及它们在社区便民服务平台中的应用。2.1SpringBoot技术概述解释SpringBoot的基本概念、特点及其在便民服务平台中的应用价值。2.2Vue技术概述阐述Vue的核心思想、技术特性及其在前端界面开发中的优势。2.3SpringBoot与Vue的整合应用探讨SpringBoot与Vue如何有效整合,以提升社区便民服务平台的性能。第3章平台需求分析与设计分析社区便民服务平台的需求,并基于SpringBoot+Vue技术进行平台设计。3.1需求分析明确平台需满足的功能需求和性能需求。3.2架构设计设计平台的整体架构,包括前后端分离、模块化设计等思想。3.3数据库设计根据平台需求设计合理的数据库结构,包括数据表、字段等。第4章平台实现与关键技术详细阐述基于SpringBoot+Vue的社区便民服务平台的实现过程及关键技术。4.1后端服务实现使用SpringBoot实现后端服务,包括用户管理、服务管理等核心功能。4.2前端界面实现采用Vue技术实现前端界面,提供友好的用户交互体验。4.3前后端交互技术探讨前后端数据交互的方式,如RESTful API、WebSocket等。第5章平台测试与优化对实现的社区便民服务平台进行全面测试,并针对问题进行优化。5.1测试环境与工具介绍测试
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