CodeForces 55D Beautiful numbers-优快云博客

本文介绍了一种算法，用于计算指定区间内所有满足其非零数位能够整除该数本身的整数的数量。通过预处理最小公倍数，并采用动态规划方法减少状态空间，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：统计某段区间内满足它所有非零数位能整除这个数本身的数的个数。

思路：一个数要能被自身的每一位非零位整除，则必然能被这些数的最小公倍数整除，而1~9的最小公倍数是2520，故可用当前数对2520取余以及当前数的每一位非零位的最小公倍数来记录，则空间需要20*2520*2520，这样会超内存，其实1~9的任意位数的最小公倍数总的个数不会超过50个，可以做一个预处理，使得最后一位降到50，所以空间需求变为

20*2520*50，可以AC了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <stack>
using namespace std;
#define ll long long
#define int64 __int64
#define M 50005
#define N 1005
#define inf 1000010
#define mod 2520

int dig[30] , table[2530];
int64 l , r , dp[20][2530][50];

void Init()//预处理，找出所有出现的最小公倍数
{
	int i , cnt = 0;
	for (i = 1 ; i <= mod ; i++)
	{
		if (mod%i == 0)
			table[i] = cnt++;
	}
}

int Gcd(int a , int b)
{
	while (a)
	{
		int temp = a;
		a = b%a;
		b = temp;
	}
	return b;
}

int Lcm(int a , int b)
{
	return b ? a*b/Gcd(a,b) : a;
}

int64 Dfs(int index , int pmod , int lcm , int lim)//pmod为当前数对2520取余，lcm为非零位的最小公倍数
{
	if (!index)
	{
		return pmod%lcm ? 0 : 1;
	}
	if (!lim && dp[index][pmod][table[lcm]] != -1)return dp[index][pmod][table[lcm]];
	int i , up = lim ? dig[index] : 9;
	int64 ret = 0;
	for (i = 0 ; i <= up ; i++)
	{
		ret += Dfs(index-1 , (pmod*10+i)%mod , Lcm(lcm,i) , lim&&i==up);
	}
	if (!lim)dp[index][pmod][table[lcm]] = ret;
	return ret;
}

int64 Solve(int64 k)
{
	int len = 0;
	while (k)
	{
		dig[++len] = k%10;
		k /= 10;
	}
	return Dfs(len , 0 , 1 , 1);
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	memset(dp , -1 , sizeof dp);
	Init();
	while (t--)
	{
		scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
		printf("%I64d\n",Solve(r)-Solve(l-1));
	}
	return 0;
}