矩阵运算与特殊矩阵详解-优快云博客

概念

由 $m\times n$ 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵。记作：

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix}$

这 $m\times n$ 个数称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素，简称为元，数 $a_{ij}$ 位于矩阵 $\mathbf{A}$ 的第i行第j列，称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 (i, j) 元。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

若多个矩阵的行数和列数相同，我们称它们为同型矩阵。

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。若多个方阵的行数（行数=列数）相同，我们称它们为同阶矩阵。

基本运算

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

加法

只有同型矩阵之间才可以进行加法运算，将两个矩阵相同位置的元相加即可，m行n列的两个矩阵相加后得到一个新的m行n列矩阵，例如：

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ b_{m1} & b_{m2} & ... &b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & ... &a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & ... &a_{2n} + b_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & ... &a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 6 & 11 \\ 7 & 7 & 7 & 14 \end{bmatrix}$