图形学知识基础:矩阵

概念

由 m\times n 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称 m\times n 矩阵。记作:

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix}

这  m\times n 个数称为矩阵\mathbf{A}的元素,简称为元,数 a_{ij} 位于矩阵\mathbf{A}的第i行第j列,称为矩阵\mathbf{A}的 (i, j) 元。

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

若多个矩阵的行数和列数相同,我们称它们为同型矩阵

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。若多个方阵的行数(行数=列数)相同,我们称它们为同阶矩阵

 

基本运算

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

加法

只有同型矩阵之间才可以进行加法运算,将两个矩阵相同位置的元相加即可,m行n列的两个矩阵相加后得到一个新的m行n列矩阵,例如:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ b_{m1} & b_{m2} & ... &b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & ... &a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & ... &a_{2n} + b_{2n} \\ ... & ... & ... &... \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & ... &a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 6 & 11 \\ 7 & 7 & 7 & 14 \end{bmatrix}

运算律

\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}

\left ( \mathbf{A} + \mathbf{B}\right ) + \mathbf{C} = \mathbf{A} + \left ( \mathbf{B} + \mathbf{C} \right )

 

减法

与加法类似,如下:

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