图形学知识基础：向量

最新推荐文章于 2025-10-19 08:00:00 发布

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#向量 #向量的运算

本文介绍了向量的基础概念，包括向量的大小、方向、单位向量和零向量。详细阐述了向量的加法、减法、与实数的乘法以及点积和叉积的运算，包括它们的几何意义和实际应用场景。还提到了在Unity中操作向量的方法，并提供了计算夹角、投影、判断方向和求面积的实际例子。

概念

向量指具有大小和方向的量，一般记做： a ， $\vec{a}$ ， $\overrightarrow{AB}$ ，同时也可以用数对的形式表示，例如： $\left ( x,y \right )$ ， $\left ( 7,8 \right )$

在Unity中，我们可以如下表示：

Vector2 a = new Vector2(2, 3);
Vector3 b = new Vector3(3, 1, 4);

向量的矩阵表示： $\vec{a} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ $\vec{a}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$

向量的大小，也就是向量的长度（一般称作为模），向量a的模记为： $\left | \vec{a} \right |$ ，若 $\vec{a} = \left ( x,y \right )$ ，则 $\left | \vec{a} \right | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

在Unity中我们可以通过下面方法来获取：

float len_a = a.magnitude;// 向量a的模
float len2_a = a.sqrMagnitude;// 向量a的模的平方（省去开根号操作，性能较好）

单位向量：即模为1的向量，可以记作 $\hat{a}$ 。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 $\hat{a} = \vec{a} / \left | \vec{a} \right |$ 。简单的理解：一个值要变为1，即除以它自身，例如 5 / 5，7.8 / 7.8，因此我们向量的长度要变为1也要除以自身的长度（向量的模）。当表示在坐标系时，即 $\left ( x,y \right )$ ，原点 $\left ( 0,0 \right )$ 到 $\left ( x,y \right )$ 即为该向量，当它们间的连线缩放时，xy也会跟着同比例缩放（类似三角形缩放）。当连线缩放为1时，新的xy的值就变为 $\left ( x / \left | \vec{a} \right |,y / \left | \vec{a} \right | \right )$ 。

在Unity中我们可以通过下面方法来获取：

Vector2 normal_a = a.normalized;// 向量a的单位向量

零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的

相反向量：长度相等方向相反的向量， $\vec{a}$ 的相反向量为 - $\vec{a}$

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 $\vec{a} // \vec{b}$

运算

设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$ ， $\vec{b}=(x_2,y_2)$

加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则， $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$

可以将其想象成一个长方形求对角线

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} + x_{2}\\ y_{1} + y_{2} \end{bmatrix}$