康托展开公式

康托展开：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

 

应用实例：

{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]
/*  康托展开.
    {1...n}的全排列由小到大有序，s[]为第几个数  */
int KT(int n, int s[])
{
    int i, j, t, sum;
    sum = 0;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = 0;
        for (j=i+1; j<n; j++)
            if (s[j] < s[i])
                t++;
        sum += t*fac[n-i-1];
    }
    return sum+1;
}

康托展开的逆运算：

 

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

/*  康托展开的逆运算.
    {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */
void invKT(int n, int k, int s[])
{
    int i, j, t, vst[8]={0};
    k--;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = k/fac[n-i-1];
        for (j=1; j<=n; j++)
            if (!vst[j])
            {
                if (t == 0) break;
                t--;
            }
        s[i] = j;
        vst[j] = 1;
        k %= fac[n-i-1];
    }
}

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标题： 排列序数

X星系的某次考古活动发现了史前智能痕迹。 
这是一些用来计数的符号，经过分析它的计数规律如下： 
（为了表示方便，我们把这些奇怪的符号用a~q代替）

abcdefghijklmnopq 表示0 
abcdefghijklmnoqp 表示1 
abcdefghijklmnpoq 表示2 
abcdefghijklmnpqo 表示3 
abcdefghijklmnqop 表示4 
abcdefghijklmnqpo 表示5 
abcdefghijklmonpq 表示6 
abcdefghijklmonqp 表示7 
…..

在一处石头上刻的符号是： 
bckfqlajhemgiodnp

请你计算出它表示的数字是多少？

请提交该整数，不要填写任何多余的内容，比如说明或注释。点击打开链接

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
long long fun(long long n){
    long long s = 1;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        s*=i;
    return s;
}
int main(){
    int f[18] = {0};
        int dig[] = {0,2,3,11,6,17,12,1,10,8,5,13,7,9,15,4,14,16};
        long long sum = 0;
        for(int i = 1;i<18;i++){
            long long t = 0;
            for(int j = 1;j<18;j++){
                if(j==dig[i]){f[j]=1;break;}
                if(f[j]==0)t++;
            }
            sum+=(t)*fun(18-1-i);//此处康托展开式公式
        }
        printf("%lld",sum);
    return 0;
}