NOIP2007 树网的核

原题描述

【问题描述】

设 T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称 T 为树网，其中V, E 分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设 T 有 n 个结点。

路径：树网中任何两结点 a,b 都存在唯一的一条简单路径，用 d(a,b)表示以a,b 为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b)为 a,b 两结点间的距离。

一点 v 到一条路径 P 的距离为该点与P上的最近的结点的距离：d(v，P) = min{d(v，u)，u 为路径 P 上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的， 我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网 T 中距路径F最远的结点到路径F的距离，即ECC(F) = max{d(v, F), v∈V}。

任务：对于给定的树网 T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径 F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过 s（可以等于 s），使偏心距 ECC(F)最小。我们称这个路径为树网 T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F 可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。 图中，A-B 与 A-C 是两条直径，长度均为 20。点 W 是树网的中心，EF 边的长度为 5。如果指定 s=11，则树网的核为路径 DEFG（也可以取为路径 DEF），偏心距为 8。如果指定 s=0（或 s=1、s=2），则树网的核为结点 F，偏心距为 12。

【输入】

输入文件 core.in 包含 n 行：

第 1 行，两个正整数 n 和 s，中间用一个空格隔开。其中 n 为树网结点的个数，s 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为 1, 2, ..., n。

第 2 行到第 n 行， 每行给出 3 个用空格隔开的正整数， 依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。

所给的数据都是正确的，不必检验。

【输出】

输出文件 core.out 只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

【输入样例1】

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

【输出样例1】

5

【输入样例2】

8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

【输出样例2】

5

我的题解

这一题首先一定要理解题意，注意求偏心距的路径为直径上的点，而直径又不止一条。如果单纯地模拟，用n^2来模拟每一条在直径上的路径，再用n^2分别来模拟其他的每一个点和该路径上的每一个点的距离（要用Floyd预处理），时间复杂度会达到O(n^4)，超时了，且还有一件麻烦事就是判断一个点在不在该路径上，该算法是不可取的。

于是我想到了分治法。对于一条路径[a, b]，如何求他的偏心距 F 呢？我用一重循环枚举每一个在该路径上的点c、将其分成两条小路径[a, c]和[c, b]并分别求出他们的偏心距和每个点到这两条路径上的距离，那么F=min{d(v, P(a, c)), d(v, P(c, b)) | v∈V, v不属于P(a, b)}。

还有，需要先做一些预处理。用Floyd求出每两对点之间的距离以及边数（有利于后面判断一个点在不在某条路径上），以及用直径长判断某一条路径P(a, b)是不是直径。每当确定一条直径后，就可以用上述的方法递归求解偏心距了。

下面给出代码：

program core;

const
  INF=16843009;//"无限大"

var
  n,s,i,j,k,ans,u,v,c,d:longint;
  dis:array[1..300,1..300] of longint;  //任意两点间距离
  disP:array[1..300,1..300,1..300] of integer;
    //任意一点到某路径的距离
  step:array[1..300,1..300] of integer;  //任意两点间边数
  have:array[1..300,1..300,1..300] of boolean;
    //标识一个点是否在某条路径上
  over:array[1..300,1..300] of boolean;  //标识某条路径是否计算过了

procedure Solve(a,b:integer);
//计算每个点到P(a,b)的距离
//把在P(a,b)上的每个点打上标记have[a,b,v]:=true
//得出ECC[a,b]
  var
    k,i,o:integer;
  begin
    //记忆化处理以免重复计算
    over[a,b]:=true;
    over[b,a]:=true;
    o:=0;
    //情况一：(a,b)是一个点
    if a=b then
      begin
        have[a,b,a]:=true;
        for i:=1 to n do
          if i<>a then
            begin
              disP[i,a,b]:=a;
              if dis[i,a]>o then o:=dis[i,a];
            end;
        if (dis[a,b]<=s) and (o<ans) then ans:=o;
        exit;
      end;
    //情况二：(a,b)是一条边
    if step[a,b]=1 then
      begin
        if not(over[a,a]) then Solve(a,a);
        if not(over[b,b]) then Solve(b,b);
        have[a,b,a]:=true;
        have[b,a,a]:=true;
        have[a,b,b]:=true;
        have[b,a,b]:=true;
        for i:=1 to n do
          if not(have[a,b,i]) then
            begin
              if dis[i,a]<dis[i,b] then disP[i,a,b]:=a
              else disP[i,a,b]:=b;
              disP[i,b,a]:=disP[i,a,b];
              if dis[i,disP[i,a,b]]>o then o:=dis[i,disP[i,a,b]];
            end;
        if (dis[a,b]<=s) and (o<ans) then ans:=o;
        exit;
      end;
    //情况三：(a,b)是一条有一条以上的边的路径
    //枚举点c分割该路径
    for i:=1 to n do
      begin
        if (i<>a) and (i<>b) and (step[a,i]+step[i,b]=step[a,b]) then
          begin
            if not(over[a,i]) then Solve(a,i);
            if not(over[i,b]) then Solve(i,b);
            k:=i;//获得一个任意的分割点
          end;
      end;
    if dis[a,b]<=s then
      begin
        //枚举求解偏心距
        for i:=1 to n do
          begin
            have[a,b,i]:=(have[a,k,i] or have[k,b,i]);
            if not(have[a,b,i]) then
              //确认点i在该路径上
              begin
                if dis[i,disP[i,a,k]]<dis[i,disP[i,k,b]] then
                  disP[i,a,b]:=disP[i,a,k]
                else disP[i,a,b]:=disP[i,k,b];
                disP[i,b,a]:=disP[i,a,b];
                if dis[i,disP[i,a,b]]>o then
                  o:=dis[i,disP[i,a,b]];
              end;
          end;
        if o<ans then ans:=o;
      end;
  end;

begin
  readln(n,s);
  fillchar(dis,sizeof(dis),1);
  for i:=1 to n-1 do
    begin
      readln(u,v,c);
      dis[u,v]:=c;
      dis[v,u]:=c;
      dis[i,i]:=0;
      step[u,v]:=1;
      step[v,u]:=1;
    end;
  //Floyd求出每两对点之间的距离以及边数
  for k:=1 to n do
    for i:=1 to n do
      if k<>i then
        for j:=1 to n do
          if (k<>j) and (i<>j) then
            if dis[i,k]+dis[k,j]<dis[i,j] then
              begin
                dis[i,j]:=dis[i,k]+dis[k,j];
                step[i,j]:=step[i,k]+step[k,j];
                if dis[i,j]>d then d:=dis[i,j];
              end;
  ans:=INF;
  //枚举直径计算出结果
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to n do
      if dis[i,j]=d then
        begin
          if not(over[i,j]) then Solve(i,j);
        end;
  writeln(ans);
end.