质数筛选算法优化与证明-优快云博客

本文详细介绍了如何通过优化质数筛选算法，利用质数性质排除非质数的方法，并通过反证法证明了筛选的有效性。算法实现采用C++语言，通过遍历并标记非质数，最终统计所有质数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

我们知道2是最小的质数，那么2的倍数均不为质数（因为它们可以分解为一个数*2），所以我们可以将小于n的数中2的倍数，全部排除掉。
排除掉2的整数倍后，剩下的数中大于2的最小的数就是下一个质数，也就是3.
同样我们可以排除掉小于n的数中3的整数倍的数，得到下一个质数为5.

根据上述思路处理，直到获得所有的质数为止。

这里还可以进行一个优化，即对于质数 p，排除掉p的整数倍后，剩下的元素中满足 p<k<p∗p 的元素k均为质数。这里简单证明一下：

每个非质数均可以分解为若干个（ >2 ，否则 k 本身为质数）质数的乘积： k=p1∗p2∗⋯∗pm ；
对于满足 p<k<p∗p 的元素来说，如果 k 不为质数，则 k 可以分解为 k=p1∗p2∗⋯∗pm ，其中必然有一个质数满足 pi<p ；
这里用反证法证明。若 k=p1∗p2∗⋯∗pm 中每一个质数均 pi>p ；则有 k>p∗p ，超出限定的条件 p<k<p∗p ，所以该非质数已经在前面的处理过程中排除掉了。

参考下图可以更容易了解（这里盗一下wiki的图~~）
这里写图片描述

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        bool* temp = new bool[n];
        memset(temp, true, sizeof(bool) * n);
        for(int i=2;i*i<n;i++){
            if(temp[i]){
                for(int j=2;j*i<n;j++){
                    temp[i*j] = false;
                }
            }
        }
        int result = 0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(temp[i]){
                result++;
            }
        }
        return result;
    }
};