HDU-2571-命运【矩阵DP】

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命运

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Problem Description

穿过幽谷意味着离大魔王lemon已经无限接近了！
可谁能想到，yifenfei在斩杀了一些虾兵蟹将后，却再次面临命运大迷宫的考验，这是魔王lemon设下的又一个机关。要知道，不论何人，若在迷宫中被困1小时以上，则必死无疑！
可怜的yifenfei为了去救MM，义无返顾地跳进了迷宫。让我们一起帮帮执着的他吧！
命运大迷宫可以看成是一个两维的方格阵列，如下图所示：

yifenfei一开始在左上角，目的当然是到达右下角的大魔王所在地。迷宫的每一个格子都受到幸运女神眷恋或者痛苦魔王的诅咒，所以每个格子都对应一个值，走到那里便自动得到了对应的值。
现在规定yifenfei只能向右或者向下走，向下一次只能走一格。但是如果向右走，则每次可以走一格或者走到该行的列数是当前所在列数倍数的格子，即：如果当前格子是（x,y），下一步可以是（x+1,y），(x,y+1)或者(x,y*k) 其中k>1。
为了能够最大把握的消灭魔王lemon，yifenfei希望能够在这个命运大迷宫中得到最大的幸运值。

 

Input

输入数据首先是一个整数C，表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行是两个整数n,m，分别表示行数和列数(1<=n<=20,10<=m<=1000)；
接着是n行数据，每行包含m个整数，表示n行m列的格子对应的幸运值K ( |k|<100 )。

 

Output

请对应每组测试数据输出一个整数，表示yifenfei可以得到的最大幸运值。

 

Sample Input

  

   1
3 8
9 10 10 10 10 -10 10 10
10 -11 -1 0 2 11 10 -20
-11 -11 10 11 2 10 -10 -10
  

 

Sample Output

  

   52
  

题解：简单的方格取数模板，不过多加了可以跳到同行的倍数列。和方格取数类似，用 dp[ i ] [ j ]表示 i 行 j 列取得数字和的最大值。则 dp [ i ] [ j ] 只和它的前一步有关，即 dp [ i-1 ] [ j ] 或者 dp [ i ] [ j-1 ]或者 dp [ i ] [ j/k ] (如果 j 能被 k整除且 k > 1）。状态转移方程：dp [ i ] [ j ] = max { dp [ i-1 ] [ j ]，dp [ i ] [ j-1 ]，dp [ i ] [ j/k ] }，其中 j%k == 0；需要注意的是这题初始化 dp 数组要开一个非常小的数，因为给的数据可能有到一个格子后得分为一个绝对值很大的负数，初始化为 -20*1000*100 即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int a[30][1010],dp[30][1010];
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d %d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				scanf("%d",&a[i][j]);
			}
		}
		for(int i=0;i<n;i++)
			dp[i][0]=-100; // 幸运值的绝对值是小于 100的，所以初始化至多为 -100 
		for(int i=0;i<m;i++)
			dp[0][i]=-100;
		dp[0][1]=dp[1][0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
				for(int k=2;k<=m;k++)
				{
					if(j%k==0)
					{
						dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j/k]);
					}
				}
				dp[i][j]+=a[i][j];
			}
		}
		printf("%d\n",dp[n][m]);
	}
	return 0;
}