并查集详解-优快云博客

并查集是一种树型数据结构，用于处理不相交集合的合并及查询问题。本文介绍了并查集的基本操作、优化方法、编程实现及应用场景。

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转载自董的博客

原文链接地址: http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/

作者：Dong，作者介绍：http://dongxicheng.org/about/

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1、概述

并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

2、基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构，它主要涉及两个基本操作，分别为：

A．合并两个不相交集合

B．判断两个元素是否属于同一个集合

（1）合并两个不相交集合（Union(x,y)）

合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)

（2）判断两个元素是否属于同一集合（Find_Set(x)）

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、优化

（1） Find_Set(x)时，路径压缩

寻找祖先时，我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况，我们需对路径进行压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示。可见，路径压缩方便了以后的查找。

（2） Union(x,y)时，按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

4、编程实现

 
        int
        father[MAX];   
        /* father[x]表示x的父节点*/
       
        int
        rank[MAX];     
        /*rank[x]表示x的秩*/
       
        &nbsp;
       
        void
        Make_Set(
        int
        x)
       
        {
       
        father[x] = x; 
        //根据实际情况指定的父节点可变化
       
        rank[x] = 0;   
        //根据实际情况初始化秩也有所变化
       
        }
       
        /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
       
        int
        Find_Set(
        int
        x)
       
        {
       
        if
        (x != father[x])
       
        {
       
        father[x] = Find_Set(father[x]); 
        //这个回溯时的压缩路径是精华
         
        }
       
        return
        father[x];
       
        }
       
        /*
       
        按秩合并x,y所在的集合
       
        下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
       
        但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
       
        */
       
        void
        Union(
        int
        x, 
        int
        y)
       
        {
       
        x = Find_Set(x);
       
        y = Find_Set(y);
       
        if
        (x == y) 
        return
        ;
       
        if
        (rank[x] > rank[y])
       
        {
       
        father[y] = x;
       
        }
       
        else
       
        {
       
        if
        (rank[x] == rank[y])
       
        {
       
        rank[y]++;
       
        }
       
        father[x] = y;
       
        }
       
        }

5、复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

6、应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、参考资料

（1）并查集：http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

（2）博文《并查集详解》：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

（3） Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.

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更多关于数据结构和算法的介绍，请查看：数据结构与算法汇总

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并查集学习：

l 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

l 并查集的优化

1、Find_Set(x)时路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。