学习笔记（2）

 今天开始学习树状数组，第一道就是楼教主的Matix,这是一道二维树状数组，这里我借鉴了OI论文就是浅谈01那篇文章，我发现01也如文章中说的那样，是相当神奇的，昨天的CF搞错时间····又跪了。刚刚把这道题过了，这道题主要是把树状数组从一维推广到二维。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>


#define MAX 1009
using namespace std;


int map[MAX][MAX];
int n,m,i,j;


int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int sum(int x,int y)
{
    int ans = 0;
    for(i = x; i>0; i-=lowbit(i))
        for(j = y; j>0; j-=lowbit(j))
            ans+=map[i][j];
    return ans;
}
void add(int x,int y,int d)
{
    for(i = x; i<=n; i+=lowbit(i))
        for(j = y; j<=n; j+=lowbit(j))
            map[i][j]+= d;
}


int main()
{
    int t,x1,x2,y1,y2,x,y;
    char xx;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(map,0,sizeof(map));
        while(m--)
        {
            cin>>xx;
            if(xx=='C')
            {
                scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
                add(x1,y1,1);
                add(x2+1,y1,1);
                add(x1,y2+1,1);
                add(x2+1,y2+1,1);
            }
            else
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\n",sum(x,y)%2);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

根据论文的思想，首先把

这四个顶点加1，这里证明就不给出了，再根据前缀和的思想，用BIT就解决了，还是要理解lowbit的含义！！！

但是这四个顶点的选取，要注意，求和之后变与不变的界限。与之相似的有POJ1195

AC代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>


#define MAX 1050
using namespace std;


int map[MAX][MAX];
int n,m,i,j;


int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int sum(int x,int y)
{
    int ans = 0;
    for(i = x; i>0; i-=lowbit(i))
        for(j = y; j>0; j-=lowbit(j))
            ans+=map[i][j];
    return ans;
}
void add(int x,int y,int d)
{
    for(i = x; i<=n; i+=lowbit(i))
        for(j = y; j<=n; j+=lowbit(j))
            map[i][j]+= d;
}


int main()
{
    int t,x1,x2,y1,y2,x,y,d;
    char xx;
    while(~scanf("%d",&t))
    {
        if(t==0)
        {
            scanf("%d",&n);
            memset(map,0,sizeof(map));
        }
        if(t==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&d);
            x++;y++;
            add(x,y,d);
        }
        if(t==2)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
            x1++;y1++;x2++;y2++;
            printf("%d\n",sum(x2,y2)-sum(x2,y1-1)-sum(x1-1,y2)+sum(x1-1,y1-1));
        }
        if(t==3)
        {
            break;
        }
    }
    return 0;
}

这四个点分别为（x2,y2） (x2,y1-1),(x1-1,y2),(x1-1,y1-1)

这个····我还是问问学长吧····

接下来学习RMQ

问题描述

RMQ问题是求给定区间中的最值问题。对于长度为n的数列A，回答若干查询RMQ(A, i, j)。返回数组A中下标在[i，j]里的最小值的下标。比如数列 5,8,1,3,6,4,9,5,7      那么RMQ(2,4) = 3， RMQ(6,9) = 6.

解决问题

最简单的解法时间复杂度是O（n），就是对于每一个查询遍历一遍数组。但是当n非常大的时候，并且查询次数非常多的时候，这个解决方案就不是那么高效了。

使用线段树（以后会讲）可以将时间复杂度优化到O（logn），通过在线段树中保存线段的最值。

不过本文将介绍一个解决RMQ最强大的算法，Sparse-Table算法。

Sparse-Table算法是一个在线算法，所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，总共2到8是7个元素，所以k=2，那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

具体如下图所示：