图结构

图结构

图（Graph）结构也是一种非线性结构，图结构在实际生活中具有丰富的例子。例如：通信网络、人际关系网络等。

什么是图结构：

之前说的树结构基本特点是数据之间具有层次关系，每一层的元素可以和多个下层元素关联，但是只能和一个上层元素关联。如果将此规则进一步扩展，也就是每个元素数据之间可以任意关联，这就构成了一个图结构。正是这种任意关联性导致了图结构中数据关系的复杂性。

一个典型的图结构包括以下内容：
- 定点（Vertex）：图中的数据元素。
- 边（Edge）：图中连接这些顶点的线。

所有的顶点构成一个顶点集合，所有的边构成边集合，一个完整的图结构由顶点集合和边集合组成。一般标记为：

• G=(V,E)
• G=(V(G),E(G))

其中，V(G)表示图结构中所有顶点的集合，顶点可以用不同的数字或者字母表示。E(G)是图中边的集合，每条边由所连接的两个顶点表示。

上图就可以表示为：
V(G)={V1,V2,V3,V4,V5,V6}

E(G)={(V1,V2),(V1,V3),(V1,V5),(V2,V4),(V3,V5),(V4,V5),(V4,V6),(V5,V6)}

基本概念

无向图

如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便称为无向图。

有向图

如果一个图结构中，边有方向性，那么这种图便称为有向图。

顶点的度

连接顶点的边的数量称为顶点的度。

对于有向图连接顶点的v是有方向的，度就有入度和出度之分。

• 入度是已该顶点为端点的入边数量，记为ID（V）。
• 出度是以该顶点为端点的出边数量，记为OD（V）。

邻接顶点

邻接顶点是指图结构中一条边的两个顶点。

无向完全图

如果在一个无向图中，每两个顶点之间都有一条边，那么这种图结构称为无向完全图。

有向完全图

如果在一个有向图中，每两个顶点之间都存在方向相反的两条边，那么这种图结构称为有向完全图。

路径

路径即图结构中两个顶点之间的连线，路径上边的数量称为路径长度。两个顶点之间的路径可能途径多个其他顶点，两个顶点之间的路径也可能不止一条，相应的路径长度可能不一样。

强连通图和强连通分量

与无向图类似，在有向图中也有连通的概念。

• 如果两个顶点之间有路径，也称这两个顶点是连通的。需要注意的是，有向图中边是有方向的。因此。1到2是连通的，但是从2到1不一定连通。
• 如果有向图中任意两个顶点都是连通的，则称该图为强连通图。
• 有向图的极大强连通子图称为该图的强连通分量。

权

实际的应用中往往需要将边长表示成某种数值，这个数值便是该边的权。

public class GraphMatrix {

    static final int MaxNum = 20;
    static final int MaxCalue = 65535;
    char[] Vertex = new char[MaxNum];              // 保存顶点信息 序号或字母
    int GType;                                     //图的类型 0 无向图  1 有向图
    int VertexNum;                                  // 顶点数量
    int EdgeNum;                                     // 边的数量
    int[][] EdgeWeight=new int[MaxNum][MaxNum];       // 保存边的权
    int[] isTrav = new int[MaxNum];                  // 遍历标志
}

图操作

public class P2_6 {

    static Scanner input = new Scanner(System.in);

    // 创建邻接矩阵
    static void CreateGraph(GraphMatrix GM){
        int i,j,k;                      //
        int weight;                     //权
        char EstartV,EendV;             //边的起始顶点
        System.out.printf("输入图中各顶点信息");
        for (i=0;i<GM.VertexNum;i++){               // 输入顶点
            System.out.printf("第几个顶点"+(i+1));
            GM.Vertex[i]=(input.next().toCharArray())[0]; // 保存到各顶点的数据元素中
        }
        System.out.printf("输入构成各边的顶点及权值");
        for (k=0;k<GM.EdgeNum;k++){
            System.out.printf("第"+(k+1)+"条边");
            EstartV = input.next().charAt(0);
            EendV = input.next().charAt(0);
            weight = input.nextInt();
            for(i=0;EstartV!=GM.Vertex[i];i++);        // 在已有顶点中查找开始结点
            for(j=0;EendV!=GM.Vertex[j];j++);           // 在已有顶点中查找终结点
            GM.EdgeWeight[i][j]=weight;           // 对应位置保存权值，表示有一条边
            if(GM.GType == 0){
                GM.EdgeWeight[j][i] = weight;    // 在对角位置保存权值
            }
        }
    }



    // 清空矩阵
    static void ClearGraph(GraphMatrix GM){
        int i,j;
        for (i = 0; i <GM.VertexNum ; i++) {
            for (j = 0; j <GM.VertexNum ; j++) {
                GM.EdgeWeight[i][j] = GraphMatrix.MaxCalue;
            }
        }
    }

    // 输出邻接矩阵
    static void OutGraph(GraphMatrix GM){
        int i,j;
        for(j=0;j<GM.VertexNum;j++){
            System.out.printf(GM.Vertex[j]+"");
        }
        System.out.println("");
        for(i=0;i<GM.VertexNum;i++){
            System.out.printf(GM.Vertex[i]+"");
            for(j=0;j<GM.VertexNum;j++){
                if(GM.EdgeWeight[i][j]==GraphMatrix.MaxCalue){
                    System.out.printf("Z");
                }else {
                    System.out.printf(GM.EdgeWeight[i][j]+"");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}