BZOJ 1429 方程的解

最新推荐文章于 2018-12-30 08:02:00 发布

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本文解析了一道数学竞赛题，利用雅可比的四方定理求解特定形式的四数平方和问题。通过巧妙转换，将原问题转化为求解特定数值的约数和，提供了一个高效的O(sqrt(n))算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1429

题解

题目相当于求
$x^2+x+y^2+y+z^2+z+w^2+w=2N$
即
$(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2+(2w+1)^2=4(2N+1) \tag{*}$
设 $S (i)$ 表示 $i$ 能拆成多少个由4个数的平方组成的和， $d (i)$ 表示 $i$ 的约数和，由雅可比的四方定理（证明：arXiv:math/9206203），得到：
$S(n)=S(2^km)= \begin{cases} 8d(m) & k=0\\ 24d(m) & k\geq 1 \end{cases}$
其中 $n=2^k m$ ， $m$ 为奇数。

而 $(*)$ 式的解的个数可以表示成 $x^2+y^2+z^2+w^2=4(2N+1)$ 的解的个数减去 $2x)^2+(2y)^2+(2z)^2+(2w)^2=4(2N+1)$ 的解的个数并除去奇偶性和正负号的影响，即
$\frac{S(4(2N+1))-S(2N+1)}{16}=d(2N+1)$
$O(\sqrt{n})$ 求 $d (2 N + 1)$ 即可。

代码

#include <cstdio>

long long n,ans;

int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  n=n*2+1;
  for(long long i=1; i*i<=n; ++i)
    {
      if(n%i==0)
        {
          ans+=i;
          if(i*i<n)
            {
              ans+=n/i;
            }
        }
    }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}