洛谷 P1048 采药 P1616 疯狂的采药 （ 01/完全背包

最新推荐文章于 2024-04-27 16:43:44 发布
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本文通过两道经典背包问题实例，详细介绍了01背包和完全背包问题的解决方法及核心代码实现。通过逐行解析C++代码，帮助读者理解如何使用动态规划求解不同类型的背包问题。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

一道01背包的裸题

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 2e5+10;
int w[MAXN], v[MAXN];
int dp[MAXN];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n, m;
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = m; j >= w[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

一道完全背包的裸题

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 2e5+10;
int w[MAXN], v[MAXN];
int dp[MAXN];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n, m;
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = w[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}
动规之-P1048 采药（dp）
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题目描述 辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰...
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P1048 [NOIP2005 普及组] 采药
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洛谷p1048代码
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### 洛谷 P1048 采药 的代码实现与解题思路 #### 解题背景 洛谷 P1048 是一道经典的 **0-1 背包问题**，题目描述为：给定一定的时间 `T` 和若干种草药 `(wi, vi)`，每种草药有一个采集时间 `wi` 和价值 `vi`。求在不超过总时间的情况下，能够获得的最大价值。 --- #### 动态规划的核心思想 该问题可以通过动态规划解决。定义状态 `dp[i][j]` 表示从前 `i` 种草药中选取，在剩余时间为 `j` 的情况下可以获得的最大价值。其状态转移方程为： \[ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j],& 若 j < w_i \\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i]+v_i),& 若 j \geq w_i \end{cases} \] 其中： - 如果当前草药无法被选入，则继承之前的状态； - 否则取两种情况中的较大值：不选择当前草药或选择当前草药后的最大价值。 此过程可以用二维数组完成，也可以进一步优化为空间复杂度更低的一维数组形式[^3]。 --- #### 完整代码实现 以下是基于一维数组优化的 C++ 实现版本： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int T, N; cin >> T >> N; // 输入总时间和草药品种数量 int weight[N + 1], value[N + 1]; for (int i = 1; i <= N; ++i) { cin >> weight[i] >> value[i]; // 输入每种草药的重量和价值 } int dp[T + 1]; // 使用一维数组存储 DP 值 fill(dp, dp + T + 1, 0); // 初始化为 0 for (int i = 1; i <= N; ++i) { // 枚举每一种草药 for (int j = T; j >= weight[i]; --j) { // 反向更新以避免重复计算 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } cout << dp[T]; // 输出最终结果 return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **初始化** 数组 `dp[]` 初始全设为零，代表没有任何物品时的价值也为零[^4]。 2. **反向遍历** 在处理每一类草药时采用倒序遍历的方式（即从大到小），防止同一草药多次加入背包的情况发生[^3]。 3. **边界条件** 当剩余容量不足以放入某件商品时 (`j < wi`) ，直接跳过；否则比较是否应该将这件商品纳入考虑范围之内并更新对应位置上的最优解[^1]。 --- #### 时间与空间复杂度分析 - **时间复杂度**: O(N * T)，因为需要双重循环分别枚举每一个物品以及可能使用的全部容量。 - **空间复杂度**: 经过优化后仅需额外开辟大小等于目标容量加一的空间即可满足需求，因此为O(T)[^4]。 ---
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