NP-hard类问题证明

NP-hard类问题：所有的非确定性多项式时间可解的判定问题构成NP类问题。

证明1：问题A给定限制条件得到一个特例B问题

证明2：问题B是NPC问题

首先必须知道以下概念：

1. P Problem

如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于 P 问题，即算法的时间复杂度是多项式级的。比如 n n n 个数中间找到最大值，或者 n n n 个数排序之类的。

2. NP Problem

NP 问题的另一个定义是可以在多项式的时间里猜到一个解的问题；很显然，所有的 P 类问题都是 NP 问题，能在多项式时间内解决，必然能多项式地验证一个解。

3. NPC Problem

存在一个NP问题，使得所有的该类NP问题都可以多项式时间地规约(Polynomial-time Reducibility) 为NPC问题。根据规约的传递性，对NP问题进行一层接一层地规约，最终可以得到一个足够泛化的NP问题，即NPC问题。

4.最具代表性的NP-Hard问题：TSP

售货员旅行问题 (traveling salesman problem)，是最具有代表性的NP问题之一。假设一个推销员需要从西安出发，经过河南，北京，上海，…，等 n 个城市， 最后返回西安。 任意两个城市之间都有高铁直达，但票价不等。现在假设公司只给报销 C 块钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于 w？
推销员旅行问题显然是 NP 的。要想知道一条总路费小于 w的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排! 这将是个超级数字。
目前的方法接近一个一个的排着试，还没有找到更好可以寻得最短路径的方法。对七个城而言，共有 6!=720 个排法，还比较简单；但若有 20 个城，则排法就有 19! 种。这超级数字，用计算机算的话，需要3000年，可想而知，如此庞大。