2014.7.31 - 多校4

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本文解析了两道算法竞赛题目，包括“The Romantic Hero”和“Our happy ending”。前者要求找出特定条件下数对的选择方法，后者则关注于寻找符合特定条件的序列数量。文中详细介绍了状态压缩与动态规划等高级算法的应用。

hdu-4901-The Romantic Hero

problem

给你n[<=1000]个数ai[0, 1023]。你可以选两个两个集合，满足1.前一个集合的最大坐标小于后一个集合的最小坐标；2.前一个集合的亦或和等于后一个集合的与和。

问你有多少中选法。

think

b[i][j]表示第一个数到第i个数，一定选择了第i个数，亦或和是j，的方案数。

c[i][j]表示第i个数到第n个数，不一定选择了第i个数，亦或和是j，的方案数。

code

const LL mod = 1000000007;
int a[1111];
int b[1111][1111], bb[1111][1111], c[1111][1111];

int main(){
    int T, tt = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            scanf("%d", &a[i]);
            sum =(sum | a[i]);
        }
        ++sum;
        memset(b, 0, sizeof(b));
        memset(bb, 0, sizeof(bb));
        memset(c, 0, sizeof(c));
        b[1][a[1]] = 1;
        bb[1][a[1]] = 1;
        c[n][a[n]] = 1;
        for(int i = n-1; i >= 1; --i){
            c[i][a[i]] += 1;
            c[i][a[i]] %= mod;
            for(int j = 0; j < sum; ++j){
                c[i][j] += c[i+1][j];
                c[i][j] %= mod;
                c[i][j&a[i]] += c[i+1][j];
                c[i][j&a[i]] %= mod;
            }
        }
        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            bb[i][a[i]] += 1;
            bb[i][a[i]] %= mod;
            b[i][a[i]] += 1;
            b[i][a[i]] %= mod;
            for(int j = 0; j < sum; ++j){
                bb[i][j] += bb[i-1][j];
                bb[i][j] %= mod;
                bb[i][j^a[i]] += bb[i-1][j];
                bb[i][j^a[i]] %= mod;

                b[i][j^a[i]] += bb[i-1][j];
                b[i][j^a[i]] %= mod;
            }
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < sum; ++j){
                ans = (ans + (LL)b[i][j] * c[i+1][j]) % mod;
            }
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}
/*
2
3 1 2 3
4 1 2 3 3
*/

hdu-4906-Our happy ending

problem

有多少这样的序列，有n个数，每个数[0,L]，从中选择一些数的和可以是k.

其中n和k不超过20，L不超过1e9

think

状压+背包

复杂数：T(case数)*n*(1<<k)*k

code

const LL mod = 1e9 + 7;

int dp[1<<20];

int main(){
    int n, k, L;
    int T, tt = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d", &n, &k, &L);
        int add = 0;
        if(L > k){
            add = L - k;//比k大的都不改变状态
            L = k;
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        int bag = (1<<k) - 1;
        int mx = 0;
        while(n--){
            for(int i = mx; i >= 0; --i) if(dp[i]){
                int tmp = dp[i];
                for(int j = 1; j <= L; ++j){
                    int ii = i|(1<<j-1)|(((LL)i<<j)&bag);
                    dp[ii] = dp[ii] + tmp;
                    if(dp[ii] >= mod) dp[ii] -= mod;
                    if(ii > mx) mx = ii;
                }
                dp[i] = dp[i] + (LL)add*tmp%mod;
                if(dp[i] >= mod) dp[i] -= mod;
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = (1<<k-1), ii = (1<<k); i < ii; ++i) {
            ans = ans + dp[i];
            if(ans >= mod) ans -= mod;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}