笔记-dfs在图和树中的一次遍历的区别

这是函数的定义部分，dfs 函数接受三个参数：

def dfs(x: int, fa: int, d: int) -> int
    if d > k:
        return 0
    cnt = 1
    for y in g[x]:
        if y != fa:
            cnt += dfs(y, x, d + 1)
    return cnt

• x (int 类型)：表示当前正在访问的节点的编号。
• fa (int 类型)：表示节点 x 的父节点的编号。这是为了在遍历过程中避免沿着已经访问过的路径返回，防止形成死循环。
• d (int 类型)：表示从根节点到当前节点 x 的深度（路径长度）。

一、树结构中避免访问父节点的原理

在树结构中，任意两个节点之间只有一条路径，每个节点（除了根节点）都有唯一的父节点。代码中的 fa 参数记录了当前节点 x 的父节点，通过 if y != fa 判断，可以确保不会从当前节点回到父节点，从而避免循环。

例如，在调用 dfs(x, fa, d) 时：

• x 是当前节点
• fa 是 x 的父节点
• 遍历 x 的邻接节点 y 时，如果 y 等于 fa，说明这个邻接节点是父节点，应该跳过

二、图结构中这种方法的局限性

在图结构中，节点之间可能存在多条路径和环路，仅仅记录父节点是不够的。例如：

• 如果图中存在环，即使跳过父节点，仍然可能通过其他路径回到已经访问过的节点
• 对于无向图中的边 (u, v)，在遍历 u 的邻接节点时会访问 v，而遍历 v 的邻接节点时又会访问 u，导致重复遍历

三、图结构中的正确处理方法

在图中进行 DFS 时，通常需要使用一个全局的 visited 数组或集合来记录已经访问过的节点，避免重复访问。以下是修改后的代码示例：

visited = set()  # 全局集合，记录已访问的节点

def dfs(x: int, d: int) -> int:
    if d > k:
        return 0
    if x in visited:  # 如果节点已被访问，直接返回0
        return 0
    visited.add(x)  # 标记当前节点为已访问
    cnt = 1
    for y in g[x]:
        cnt += dfs(y, d + 1)  # 递归访问邻接节点，不再需要fa参数
    return cnt

四、总结

1. 树结构：由于其无环特性，使用 fa 参数可以有效避免重复访问父节点
2. 图结构：必须使用 visited 集合来记录已访问节点，否则会导致：
   • 无限循环（如果图中存在环）
   • 重复计算（即使图中没有环