二叉搜索树：高效查找与插入

二叉搜索树的基本概念

二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树，满足以下性质：

• 左子树所有节点的值小于根节点的值。
• 右子树所有节点的值大于根节点的值。
• 左右子树也分别为二叉搜索树。

这种结构使得查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。理想情况下，BST 是平衡的，此时 h = log(n)，n 为节点数。

二叉搜索树的节点定义

二叉搜索树的节点通常包含三个部分：

• 数据域（存储值）。
• 左子节点指针。
• 右子节点指针。

以下是 C++ 中的节点定义示例：

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

二叉搜索树的插入操作

插入操作需要遵循 BST 的性质：

• 若当前节点为空，直接创建新节点。
• 若插入值小于当前节点值，递归插入左子树。
• 若插入值大于当前节点值，递归插入右子树。

以下是插入操作的实现：

TreeNode* insert(TreeNode* root, int val) {
    if (!root) return new TreeNode(val);
    if (val < root->val) root->left = insert(root->left, val);
    else if (val > root->val) root->right = insert(root->right, val);
    return root;
}

二叉搜索树的查找操作

查找操作通过比较目标值与当前节点值决定搜索方向：

• 若当前节点为空，返回空。
• 若目标值等于当前节点值，返回当前节点。
• 若目标值小于当前节点值，递归查找左子树。
• 若目标值大于当前节点值，递归查找右子树。

以下是查找操作的实现：

TreeNode* search(TreeNode* root, int val) {
    if (!root || root->val == val) return root;
    if (val < root->val) return search(root->left, val);
    return search(root->